(4 pts) Calcule \iint_{S} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{S}, onde \mathbf{F}(x, y, z)=x y \mathbf{i}+\left(y^{2}+e^{x z^{2}}\right) \mathbf{j}+\operatorname{sen}(x y) \mathbf{k} e S é a superficie da região E limitada pelo cilindro parabólico z=1-x^{2} e pelos planos z=0, y=0 e y+z=2
A superfície S é a superfície fechada que limita a região E determinada pelo paraboloide (parabólico) e pelos planos:
z=1-x^{2},\qquad z=0,\qquad y=0,\qquad y+z=2.
Pergunta explícita: determinar o valor numérico do fluxo \iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}.
Passo 2
Escolha do método (explicação didática): como S é a superfície fechada que limita a região sólida E, é conveniente usar o Teorema da Divergência (Teorema de Gauss). Esse teorema diz que o fluxo total de um campo vetorial através da superfície fechada é igual à integral tripla da divergência do campo sobre o volume interno:
Por que podemos usar aqui: a superfície dada fecha uma região E limitada (veja os planos e o paraboloide), o campo \mathbf{F} é suave nas partes consideradas, então as hipóteses do teorema são satisfeitas. Assim vamos calcular \nabla\cdot\mathbf{F} e integrar sobre E. Dica prática: usar o teorema evita ter que parametrizar cada face da superfície e somar fluxos — muito menos trabalho numa prova.
Passo 3
Calcular a divergência \nabla\cdot\mathbf{F}. Lembrando que a divergência é a soma das derivadas parciais das componentes: