(4 pts) Calcule \iint_{S} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{S}, onde \mathbf{F}(x, y, z)=x y \mathbf{i}+\left(y^{2}+e^{x z^{2}}\right) \mathbf{j}+\operatorname{sen}(x y) \mathbf{k} e S é a superficie da região E limitada pelo cilindro parabólico z=1-x^{2} e pelos planos z=0, y=0 e y+z=2

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o fluxo total
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}
onde \mathbf{F} e a superfície S são dados.
Informações fornecidas:
\mathbf{F}(x,y,z)=x y\,\mathbf{i}+\bigl(y^{2}+e^{x z^{2}}\bigr)\,\mathbf{j}+\operatorname{sen}(x y)\,\mathbf{k}.
A superfície S é a superfície fechada que limita a região E determinada pelo paraboloide (parabólico) e pelos planos:
z=1-x^{2},\qquad z=0,\qquad y=0,\qquad y+z=2.
Pergunta explícita: determinar o valor numérico do fluxo \iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}.

Passo 2

Escolha do método (explicação didática): como S é a superfície fechada que limita a região sólida E, é conveniente usar o Teorema da Divergência (Teorema de Gauss). Esse teorema diz que o fluxo total de um campo vetorial através da superfície fechada é igual à integral tripla da divergência do campo sobre o volume interno:
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}=\iiint_{E}\nabla\cdot\mathbf{F}\,dV.
Por que podemos usar aqui: a superfície dada fecha uma região E limitada (veja os planos e o paraboloide), o campo \mathbf{F} é suave nas partes consideradas, então as hipóteses do teorema são satisfeitas. Assim vamos calcular \nabla\cdot\mathbf{F} e integrar sobre E. Dica prática: usar o teorema evita ter que parametrizar cada face da superfície e somar fluxos — muito menos trabalho numa prova.

Passo 3

Calcular a divergência \nabla\cdot\mathbf{F}. Lembrando que a divergência é a soma das derivadas parciais das componentes:
\nabla\cdot\mathbf{F}=\frac{\partial}{\partial x}(x y)+\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y^{2}+e^{x z^{2}}\bigr)+\frac{\partial}{\partial z}\bigl(\operatorname{sen}(x y)\bigr).
Calculamos termo a termo:
\frac{\partial}{\partial x}(x y)=y,
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y^{2}+e^{x z^{2}}\bigr)=2y \quad\text{(pois \(e^{x z^{2}}\) não depende de \(y\))},ã
\frac{\partial}{\partial z}\bigl(\operatorname{sen}(x y)\bigr)=0 \quad\text{(pois \(\operatorname{sen}(x y)\) não depende de \(z\))}.ã
Somando,
\nabla\cdot\mathbf{F}=y+2y+0=3y.
Pequena interpretação: a divergência aqui é uma função simples 3y, que mede “fontes” proporcionais a y no volume.

Passo 4

Descrever a região E e montar a integral tripla. A região E é formada por pontos (x,y,z) tais que:
  • por baixo z\ge 0 (plano z=0);
  • por cima z\le 1-x^{2} (paraboloide invertido), então precisamos de 1-x^{2}\ge 0 -1\le x\le 1;
  • em y temos y\ge 0 (plano y=0) e y\le 2-z (plano y+z=2 y=2-z).
Logo uma descrição conveniente em coordenadas cartesianas é
E=\bigl\{(x,y,z)\mid -1\le x\le 1,\; 0\le z\le 1-x^{2},\; 0\le y\le 2-z\bigr\}.
Usamos a ordem de integração dy\,dz\,dx (primeiro y, depois z, depois x). Assim, pela Divergência,
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}=\iiint_{E}3y\,dV =3\int_{x=-1}^{1}\int_{z=0}^{1-x^{2}}\int_{y=0}^{2-z} y\,dy\,dz\,dx.

Passo 5

Integrar em y (primeira integral interna). Calculamos
\int_{y=0}^{2-z} y\,dy=\left.\frac{y^{2}}{2}\right|_{0}^{2-z}=\frac{(2-z)^{2}}{2}.
Substituindo na integral tripla:
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}=3\int_{-1}^{1}\int_{0}^{1-x^{2}} \frac{(2-z)^{2}}{2}\,dz\,dx =\frac{3}{2}\int_{-1}^{1}\int_{0}^{1-x^{2}} (2-z)^{2}\,dz\,dx.

Passo 6

Calcular a integral em z:
\int_{0}^{1-x^{2}} (2-z)^{2}\,dz.
Uma forma rápida é fazer a substituição u=2-z (então du=-dz). Quando z=0, u=2; quando z=1-x^{2}, u=1+x^{2}. Assim
\int_{0}^{1-x^{2}}(2-z)^{2}\,dz=\int_{u=2}^{1+x^{2}} u^{2}(-du)=\int_{1+x^{2}}^{2} u^{2}\,du =\left.\frac{u^{3}}{3}\right|_{1+x^{2}}^{2}=\frac{1}{3}\bigl(8-(1+x^{2})^{3}\bigr).
Portanto
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}=\frac{3}{2}\int_{-1}^{1}\frac{1}{3}\bigl(8-(1+x^{2})^{3}\bigr)\,dx =\frac{1}{2}\int_{-1}^{1}\bigl(8-(1+x^{2})^{3}\bigr)\,dx.

Passo 7

Simplificar o integrando e usar simetria em x. Expandimos
(1+x^{2})^{3}=1+3x^{2}+3x^{4}+x^{6},
logo
8-(1+x^{2})^{3}=7-3x^{2}-3x^{4}-x^{6}.
Esse polinômio é uma função par (apenas potências pares de x), então
\frac{1}{2}\int_{-1}^{1}\bigl(8-(1+x^{2})^{3}\bigr)\,dx =\frac{1}{2}\cdot 2\int_{0}^{1}\bigl(7-3x^{2}-3x^{4}-x^{6}\bigr)\,dx =\int_{0}^{1}\bigl(7-3x^{2}-3x^{4}-x^{6}\bigr)\,dx.

Passo 8

Integrar termo a termo em x e finalizar (contas passo a passo):
\int_{0}^{1}7\,dx=7,
\int_{0}^{1}3x^{2}\,dx=3\cdot\frac{x^{3}}{3}\Big|_{0}^{1}=1,
\int_{0}^{1}3x^{4}\,dx=3\cdot\frac{x^{5}}{5}\Big|_{0}^{1}=\frac{3}{5},
\int_{0}^{1}x^{6}\,dx=\frac{x^{7}}{7}\Big|_{0}^{1}=\frac{1}{7}.
Somando com os sinais apropriados:
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}=7-1-\frac{3}{5}-\frac{1}{7}=6-\frac{3}{5}-\frac{1}{7}.
Colocando em comum denominador 35:
6=\frac{210}{35},\quad \frac{3}{5}=\frac{21}{35},\quad \frac{1}{7}=\frac{5}{35},
portanto
6-\frac{3}{5}-\frac{1}{7}=\frac{210-21-5}{35}=\frac{184}{35}.

Resposta

\displaystyle \frac{184}{35}

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