É dado o número cumplex \omega=\left[\cos \left(\frac{\pi}{3}\right)+i \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{3}\right)\right] calcule \omega+\omega^{2}+\omega^{3}+\omega^{4}+\omega^{5}.

Passo 1

O enunciado dá o número complexo \omega=\left[\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)+i\operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{3}\right)\right] e pede para calcular
\omega+\omega^{2}+\omega^{3}+\omega^{4}+\omega^{5}.
Informações importantes fornecidas:
\omega=\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{3}\right).
A pergunta é: qual é o valor da soma acima?

Passo 2

Vamos escrever \omega numa forma mais manuseável. Lembrando os valores trigonométricos básicos,
\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2},\qquad \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}.
Logo
\omega=\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}.
Uma forma muito útil de ver números complexos no plano é a forma exponencial (Fórmula de Euler):
e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta.
Comparando, temos
\omega=e^{i\frac{\pi}{3}}.

Passo 3

Usando a forma exponencial, potências de \omega ficam fáceis: pela propriedade (e^{i\theta})^{n}=e^{in\theta},
\omega^{6}=\left(e^{i\frac{\pi}{3}}\right)^{6}=e^{i2\pi}=1.
Portanto \omega é uma raiz sexta da unidade (ou seja, uma raiz de x^{6}-1=0). Em particular \omega\neq 1 (pois o ângulo \frac{\pi}{3} não é múltiplo de 2\pi).

Passo 4

Agora usemos a soma de uma progressão geométrica. Se r\neq 1,
\sum_{k=0}^{5} r^{k}=\frac{r^{6}-1}{r-1}.
Aplicando com r=\omega e lembrando que \omega^{6}=1,
\sum_{k=0}^{5}\omega^{k}=\frac{\omega^{6}-1}{\omega-1}=\frac{1-1}{\omega-1}=0.
Isso significa que
1+\omega+\omega^{2}+\omega^{3}+\omega^{4}+\omega^{5}=0.
Subtraindo 1 dos dois lados,
\omega+\omega^{2}+\omega^{3}+\omega^{4}+\omega^{5}=-1.

Passo 5

Para ficar seguro e ver geometricamente o porquê, podemos verificar somando partes real e imaginária separadamente usando os ângulos \frac{k\pi}{3} para k=1,\dots,5. Os cossenos são
\frac{1}{2},\; -\frac{1}{2},\; -1,\; -\frac{1}{2},\; \frac{1}{2}
que somam -1. As componentes seno são
\frac{\sqrt{3}}{2},\; \frac{\sqrt{3}}{2},\; 0,\; -\frac{\sqrt{3}}{2},\; -\frac{\sqrt{3}}{2}
que somam 0. Assim a soma total é -1+0i=-1, confirmando o resultado do passo anterior.

Resposta

-1

Exercícios relacionados