É dado o número cumplex
calcule
.
Passo 1
O enunciado dá o número complexo
e pede para calcular
Informações importantes fornecidas:
A pergunta é: qual é o valor da soma acima?
Passo 2
Vamos escrever
numa forma mais manuseável. Lembrando os valores trigonométricos básicos,
Logo
Uma forma muito útil de ver números complexos no plano é a forma exponencial (Fórmula de Euler):
Comparando, temos
Passo 3
Usando a forma exponencial, potências de
ficam fáceis: pela propriedade
,
Portanto
é uma raiz sexta da unidade (ou seja, uma raiz de
). Em particular
(pois o ângulo
não é múltiplo de
).
Passo 4
Agora usemos a soma de uma progressão geométrica. Se
,
Aplicando com
e lembrando que
,
Isso significa que
Subtraindo
dos dois lados,
Passo 5
Para ficar seguro e ver geometricamente o porquê, podemos verificar somando partes real e imaginária separadamente usando os ângulos
para
. Os cossenos são
que somam
. As componentes seno são
que somam
. Assim a soma total é
, confirmando o resultado do passo anterior.