Determine as derivadas parciais indicadas.
f(x, y)=\frac{x}{y+2 z} ; f_{x y z}, f_{y x x}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:\n
  • Está dada a função \displaystyle f(x,y)=\frac{x}{y+2z}.\n
  • Precisamos encontrar as derivadas parciais de terceira ordem indicadas: \displaystyle f_{x y z} e \displaystyle f_{y x x}.\n
  • Interpreto a notação de subscritos da esquerda para a direita: primeiro diferenciar em relação a x, depois a y e depois a z para \displaystyle f_{x y z}; e primeiro a y, depois duas vezes a x para \displaystyle f_{y x x}.

Passo 2

Lembrete rápido e intuitivo sobre derivadas parciais e regras que vamos usar:\n
  • Derivada parcial em relação a uma variável trata as outras como constantes.\n
  • Regra do quociente: se g(t)=\dfrac{u(t)}{v(t)}, então g'(t)=\dfrac{u'(t)v(t)-u(t)v'(t)}{v(t)^2}. No nosso caso, quando diferenciamos em relação a y ou z, x é tratado como constante; quando diferenciamos em relação a x, y e z são constantes.\n
  • Regra da cadeia / potência: se h(t)=(w(t))^{n}, então h'(t)=n(w(t))^{n-1}\,w'(t). Isso será útil para derivar (y+2z)^{-2} ou (y+2z)^{-3}.

Passo 3

Calculemos a primeira derivada parcial em relação a x:\n
A função é \displaystyle f(x,y)=\frac{x}{y+2z}. Diferenciando em x (tratando y,z como constantes) usamos que a derivada de x em relação a x é 1, e o denominador é constante, então
f_x=\frac{1}{y+2z}.

Passo 4

Agora calculemos \displaystyle f_{xy}, ou seja, a derivada em y de f_x:\n
Temos \displaystyle f_x=\frac{1}{y+2z}=(y+2z)^{-1}. Aplicando a regra da potência com a cadeia, derivando em y (agora z é constante):
f_{xy}=\frac{d}{dy}\bigl((y+2z)^{-1}\bigr)=-1\,(y+2z)^{-2}\cdot\frac{d}{dy}(y+2z).
Como \displaystyle \frac{d}{dy}(y+2z)=1, temos
f_{xy}=-\frac{1}{(y+2z)^2}.

Passo 5

Finalmente para \displaystyle f_{xyz} derivamos \displaystyle f_{xy} em relação a z:\n
Começamos com \displaystyle f_{xy}=-(y+2z)^{-2}. Aplicando a regra da cadeia para derivar em z:
\frac{d}{dz}\bigl(-(y+2z)^{-2}\bigr) = -(-2)(y+2z)^{-3}\cdot\frac{d}{dz}(y+2z).
Aqui \displaystyle \frac{d}{dz}(y+2z)=2. Substituindo,
f_{xyz} = -(-2)(y+2z)^{-3}\cdot 2 = 4\,(y+2z)^{-3}.
Em forma de fração:
f_{xyz}=\frac{4}{(y+2z)^3}.

Passo 6

Agora vamos calcular \displaystyle f_{y x x}. Primeiro obtenha \displaystyle f_y:\n
Diferenciando \displaystyle f(x,y)=\frac{x}{y+2z} em relação a y (tratando x,z como constantes), usamos que x é constante multiplicando a derivada de 1/(y+2z):
f_y = x\cdot\frac{d}{dy}\bigl((y+2z)^{-1}\bigr) = x\cdot\bigl(-1\,(y+2z)^{-2}\bigr) = -\frac{x}{(y+2z)^2}.

Passo 7

Agora calcule \displaystyle f_{yx}, ou seja, deriva \displaystyle f_y em relação a x:\n
Temos \displaystyle f_y = -\frac{x}{(y+2z)^2}. Aqui (y+2z) é constante em relação a x, então a derivada é simplesmente
f_{yx} = -\frac{1}{(y+2z)^2}.

Passo 8

Por fim, calcule \displaystyle f_{yxx} derivando \displaystyle f_{yx} novamente em relação a x:\n
Note que f_{yx}=-\dfrac{1}{(y+2z)^2} não depende de x (é função só de y e z), então a derivada em relação a x é zero:
f_{yxx}=0.

Resposta

\displaystyle f_{xyz}=\frac{4}{(y+2z)^3}\n
\displaystyle f_{yxx}=0

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