Determine as derivadas parciais indicadas.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:\n
- Está dada a função
.\n - Precisamos encontrar as derivadas parciais de terceira ordem indicadas:
e .\n - Interpreto a notação de subscritos da esquerda para a direita: primeiro diferenciar em relação a
, depois a e depois a para ; e primeiro a , depois duas vezes a para .
Passo 2
Lembrete rápido e intuitivo sobre derivadas parciais e regras que vamos usar:\n
- Derivada parcial em relação a uma variável trata as outras como constantes.\n
- Regra do quociente: se
, então . No nosso caso, quando diferenciamos em relação a ou , é tratado como constante; quando diferenciamos em relação a , e são constantes.\n - Regra da cadeia / potência: se
, então . Isso será útil para derivar ou .
Passo 3
Calculemos a primeira derivada parcial em relação a
:\n
A função é . Diferenciando em
(tratando
como constantes) usamos que a derivada de
em relação a
é
, e o denominador é constante, então
A função é
Passo 4
Agora calculemos
, ou seja, a derivada em
de
:\n
Temos . Aplicando a regra da potência com a cadeia, derivando em
(agora
é constante):
Temos
Como
, temos
Passo 5
Finalmente para
derivamos
em relação a
:\n
Começamos com . Aplicando a regra da cadeia para derivar em
:
Começamos com
Aqui
. Substituindo,
Em forma de fração:
Passo 6
Agora vamos calcular
. Primeiro obtenha
:\n
Diferenciando em relação a
(tratando
como constantes), usamos que
é constante multiplicando a derivada de
:
Diferenciando
Passo 7
Agora calcule
, ou seja, deriva
em relação a
:\n
Temos . Aqui
é constante em relação a
, então a derivada é simplesmente
Temos
Passo 8
Por fim, calcule
derivando
novamente em relação a
:\n
Note que não depende de
(é função só de
e
), então a derivada em relação a
é zero:
Note que