(2,0 pts) Calcule integralC x y d x+(z-2 x^2) d y+(2 y^2-x) d z C é a curva obtida como interseção da parte superior do cone x^2+4 y^2=z^2 com o cilindro x=2 y^2 do ponto (0,0,0) até o ponto (2,1,2 raiz2).

Passo 1

O enunciado pede o valor do integral de linha
integralC x,y,dx+(z-2x^2),dy+(2y^2-x),dz
onde C é a curva obtida pela interseção do cone x^2+4y^2=z^2 (parte superior) com o cilindro x=2y^2, de (0,0,0) até (2,1,2raiz2).
O conteúdo aqui é integrar uma forma diferencial ao longo de uma curva, então vamos parametrizar C e substituir na integral.

Passo 2

Para parametrizar C, note que a interseção satisfaz
x=2y^2, z^2=x^2+4y^2=4y^4+4y^2=4y^2(y^2+1),
e como é a parte superior do cone, z=2yraizy^2+1. Seja y=t, com t variando de 0 a 1. Então definimos
r(t)=l(x(t),y(t),z(t)r) =l(2t^2,,t,,2traizt^2+1r), 0<= t<=1

Passo 3

Calculamos as diferenciais:
dx=ddt(2t^2),dt=4t,dt, dy=dt,
dz=ddtl(2traizt^2+1r),dt =2,2t^2+1raizt^2+1,dt

Passo 4

Substituindo x=2t^2, y=t, z=2traizt^2+1 e as diferenciais em
,P,dx+Q,dy+R,dz, com
P=xy, Q=z-2x^2, R=2y^2-x,
obtemos
P,dx =(2t^2cdot t)(4t,dt)=8t^4,dt,
Q,dy =l(2traizt^2+1-2,(2t^2)^2r),dt =l(2traizt^2+1-8t^4r),dt,
R,dz =l(2t^2-2t^2r),dz=0
Somando,
P,dx+Q,dy+R,dz =l(8t^4+2traizt^2+1-8t^4r),dt =2traizt^2+1,dt

Passo 5

O integral torna-se
integral0^12traizt^2+1,dt
Fazendo a substituição u=t^2+1, du=2t,dt, os limites vão de u(0)=1 a u(1)=2, então
integral0^12traizt^2+1,dt =integral1^2raizu,du =[23u^3/2]1^2 =23l(2^3/2-1r)

Resposta

23l(2raiz2-1r)

Exercícios relacionados