(2,0 pts) Calcule
é a curva obtida como interseção da parte superior do cone
com o cilindro
do ponto
até o ponto
.
Passo 1
O enunciado pede o valor do integral de linha
onde
é a curva obtida pela interseção do cone
(parte superior) com o cilindro
, de
até
.
O conteúdo aqui é integrar uma forma diferencial ao longo de uma curva, então vamos parametrizar e substituir na integral.
O conteúdo aqui é integrar uma forma diferencial ao longo de uma curva, então vamos parametrizar
Passo 2
Para parametrizar
, note que a interseção satisfaz
e como é a parte superior do cone,
. Seja
, com
variando de
a
. Então definimos
Passo 3
Calculamos as diferenciais:
Passo 4
Substituindo
,
,
e as diferenciais em
, com
obtemos
Somando,
Passo 5
O integral torna-se
Fazendo a substituição
,
, os limites vão de
a
, então