Encontre os três primeiros termos não nulos do Polinômio de Taylor que aproxima a solução do problema inicial.
Passo 1
O enunciado pede a aproximação por polinômio de Taylor da solução do problema inicial
Usaremos o método de séries de potências (coeficientes indeterminados) para obter os três primeiros termos não nulos.
Passo 2
Suponha
Então
e, como produto de séries,
A equação diferencial vira
Passo 3
Do valor inicial
segue
Comparando o coeficiente de
em ambas as séries:
na esquerda vem , na direita vem
.
Logo
na esquerda vem
Logo
Passo 4
Compare o coeficiente de
:
na esquerda vem , na direita não vem termo de
do
e vem
.
Assim
na esquerda vem
Assim
Resposta
Os três primeiros termos não nulos do polinômio de Taylor são