Encontre os três primeiros termos não nulos do Polinômio de Taylor que aproxima a solução do problema inicial.
y^prime=x^2+y^2 ; y(0)=1

Passo 1

O enunciado pede a aproximação por polinômio de Taylor da solução do problema inicial
y' = x^2 + y^2, y(0)=1
Usaremos o método de séries de potências (coeficientes indeterminados) para obter os três primeiros termos não nulos.

Passo 2

Suponha
y(x)=sumn=0^inftyanx^n
Então
y'(x)=sumn=1^inftyn,anx^n-1,
e, como produto de séries,
y(x)^2=sumn=0^inftycnx^n, cn=sumk=0^n ak,a,n-k
A equação diferencial vira
sumn=1^inftyn,anx^n-1 = x^2 + sumn=0^inftycnx^n

Passo 3

Do valor inicial ,y(0)=1 segue
a0=1
Comparando o coeficiente de x^0 em ambas as séries:
na esquerda vem 1cdot a1, na direita vem c0=a0^2=1.
Logo
a1=1

Passo 4

Compare o coeficiente de x^1:
na esquerda vem 2,a2, na direita não vem termo de x^1 do x^2 e vem c1=2,a0a1=2.
Assim
2,a2=2 Longrightarrow a2=1

Resposta

Os três primeiros termos não nulos do polinômio de Taylor são
y(x)approx 1 + x + x^2

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