(2,0 pts) Calcule integralC(x y-y) d s, onde C é a curva obtida como interseção do parabolóide z=x^2+y^2 com o cilindro x^2+y^2=2 x, do ponto ( 2,0,4 ) até o ponto (1, 1, 2).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
integralC(x,y - y),d s
onde C é a curva de interseção do parabolóide z=x^2+y^2 com o cilindro x^2+y^2=2x, indo do ponto (2,0,4) até (1,1,2).
O conteúdo é integral de linha de função escalar multiplicada por d s. Para resolver, vamos parametrizar C, obter d s e reescrever o integrando em termos do parâmetro.

Passo 2

Para parametrizar o cilindro x^2+y^2=2x, note que é o círculo de raio 1 centrado em (1,0). Então podemos usar
x(t)=1+cos t, y(t)=sin t,
com t variando de 0 a pi/2 para ir de (2,0) a (1,1). Como z=x^2+y^2, segue
z(t) = [,1+cos t,]^2 + sin^2 t = 2 + 2cos t
Logo a parametrização de C é
r(t) = l(1+cos t,;sin t,;2+2cos tr), tin[0,tfracpi2]

Passo 3

Calculamos r'(t) e o módulo para obter d s:
r'(t)=l(-sin t,;cos t,;-2sin tr),
llvert r'(t)rrvert = raizsin^2 t + cos^2 t +4sin^2 t = raiz1+4sin^2 t
Portanto
d s = lvert r'(t)rvert,dt = raiz1+4sin^2 t;dt

Passo 4

Em r(t), o integrando x,y - y vira
x,y - y = l(1+cos tr)sin t - sin t = cos t,sin t = tfrac12sin(2t)
Logo a integral torna-se
integralC(x,y - y),d s = integral0^pi/2 tfrac12sin(2t),raiz1+4sin^2 t;dt = integral0^pi/2 sin tcos t,raiz1+4sin^2 t;dt

Passo 5

Para calcular
I = integral0^pi/2 sin tcos t,raiz1+4sin^2 t;dt,
fazemos u=sin t, du=cos t,dt. Quando t=0, u=0; quando t=pi/2, u=1. Assim
I = integral0^1 uraiz1+4u^2;du
Com a substituição w=1+4u^2, dw=8u,du, obtemos
I = integralw=1^5 raizw,dw8 = 18,23l[w^3/2r]1^5 = 112l(5^3/2-1r) = 112l(5raiz5 -1r)

Resposta

boxed112l(5raiz5 -1r)

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