(2,0 pts) Calcule , onde é a curva obtida como interseção do parabolóide com o cilindro , do ponto ( ) até o ponto (1, 1, 2).
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde é a curva de interseção do parabolóide com o cilindro , indo do ponto até .
O conteúdo é integral de linha de função escalar multiplicada por . Para resolver, vamos parametrizar , obter e reescrever o integrando em termos do parâmetro.
Passo 2
Para parametrizar o cilindro , note que é o círculo de raio 1 centrado em . Então podemos usar
com variando de a para ir de a . Como , segue
Logo a parametrização de é
Passo 3
Calculamos e o módulo para obter :
Portanto
d s = lvert r'(t)rvert,dt = raiz1+4sin^2 t;dt
Passo 4
Em r(t), o integrando x,y - y vira
x,y - y = l(1+cos tr)sin t - sin t = cos t,sin t = tfrac12sin(2t)
Logo a integral torna-se
integralC(x,y - y),d s = integral0^pi/2 tfrac12sin(2t),raiz1+4sin^2 t;dt = integral0^pi/2 sin tcos t,raiz1+4sin^2 t;dt
Passo 5
Para calcular
I = integral0^pi/2 sin tcos t,raiz1+4sin^2 t;dt,
fazemos u=sin t, du=cos t,dt. Quando t=0, u=0; quando t=pi/2, u=1. Assim