Encontre os três primeiros termos não nulos do Polinômio de Taylor que aproxima a solução do problema inicial.
-Y^{\prime}=\operatorname{sen}(x+y) ; y(0)=0

Passo 1

O enunciado pede os três primeiros termos não nulos do polinômio de Taylor da solução de
-,y'=sin(x+y), y(0)=0
Vamos usar o método de séries de potências: supor
y(x)=sumn=0^inftyan x^n,
expandir sin(x+y) como série e igualar coeficientes de x^n.

Passo 2

Derivando a série de y obtemos
y'(x)=sumn=1^inftyn,an x^n-1
Definindo
z=x+y(x),
a ODE vira
-,sumn=1^infty n,an x^n-1 ;=;sin(z)
Como y(0)=0, temos a0=0. Nosso plano é expandir sin(z) até ordem x^5 e comparar termos.

Passo 3

Escrevendo
z=x+y(x) =x + a1 x + a2 x^2 + a3 x^3 + a4 x^4 + a5 x^5 + O(x^6)
e usando
sin(z)=z-z^36+z^5120+O(z^7),
chegamos a
sin(z) =x-tfrac12 x^2+0cdot x^3+tfrac14 x^4+l(a5-tfrac15r)x^5+O(x^6)
Logo
-,sin(z) =-x+tfrac12 x^2-tfrac14 x^4+l(tfrac15 -a5r)x^5+O(x^6)

Passo 4

Expandindo o lado de y':
y'(x)=a1+2a2 x+3a3 x^2+4a4 x^3+5a5 x^4+O(x^5)
Igualando termo a termo com -sin(z):
– Ordem x^0: a1=0.
– Ordem x^1: 2a2=-1 implies a2=-tfrac12.
– Ordem x^2: 3a3=tfrac12 implies a3=tfrac16.
– Ordem x^3: 4a4=0 implies a4=0.
– Ordem x^4: 5a5=-tfrac14 implies a5=-tfrac120.

Resposta

Os três primeiros termos não nulos do polinômio de Taylor de y(x) em torno de 0 são
y(x)approx -12 x^2 + 16 x^3 - 120 x^5

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