Encontre os três primeiros termos não nulos do Polinômio de Taylor que aproxima a solução do problema inicial.
-Y^{\prime}=\operatorname{sen}(x+y) ; y(0)=0
-Y^{\prime}=\operatorname{sen}(x+y) ; y(0)=0
Passo 1
O enunciado pede os três primeiros termos não nulos do polinômio de Taylor da solução de
Vamos usar o método de séries de potências: supor
expandir
como série e igualar coeficientes de
.
Passo 2
Derivando a série de
obtemos
Definindo
a ODE vira
Como
, temos
. Nosso plano é expandir
até ordem
e comparar termos.
Passo 3
Escrevendo
e usando
chegamos a
Logo
Passo 4
Expandindo o lado de
:
Igualando termo a termo com
:
– Ordem
:
.
– Ordem :
.
– Ordem :
.
– Ordem :
.
– Ordem :
.
– Ordem
– Ordem
– Ordem
– Ordem
Resposta
Os três primeiros termos não nulos do polinômio de Taylor de
em torno de 0 são