(4 pts) Calcule os limites: Justifique todas as suas afirmações.
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado pede calcular o seguinte limite quando
tende a
:
Informações relevantes dadas:
- A expressão é uma razão com numerador
e denominador . - Quando
o numerador vale e o denominador vale , portanto a expressão tem a forma indeterminada na avaliação direta em . - O objetivo é justificar cada afirmação e chegar ao valor do limite.
Passo 2
Entendendo a forma indeterminada
e o que isso permite fazer.
- Quando uma expressão de limite apresenta
, isso significa que a substituição direta não dá resposta e que é preciso manipular algébrica ou analiticamente a expressão para obter uma forma cujo limite exista e possa ser calculado. - Uma técnica clássica para eliminar diferenças envolvendo raízes é multiplicar por um conjugado: para termos do tipo
multiplica-se por para usar a identidade .
Vou aplicar essa técnica ao numerador.
Passo 3
Multiplicar numerador e denominador pelo conjugado
.
Essa multiplicação é válida para todo
tal que
. Como
e
, o denominador auxiliar é sempre positivo; portanto a igualdade vale para todo
real. Agora simplifico o numerador usando a identidade citada.
Passo 4
Simplificação algébrica após multiplicar pelo conjugado.
Como
aparece tanto no numerador quanto no denominador (e
para
), podemos simplificar para obter, para
,
Passo 5
Justificando a passagem para o limite após simplificação.
- Observação importante: a igualdade obtida no passo anterior vale para todo
. Para fins de cálculo do limite em podemos substituir a função original pela função simplificada, pois duas funções que coincidem em todo vizinho de exceto possivelmente em têm o mesmo limite em . - Agora consideramos o limite da função simplificada:
Passo 6
Uso da continuidade da função raiz quadrada para avaliar o limite.
- A função
é contínua em (na verdade em todo ). Isso significa que
- Portanto, somando
e invertendo (operações contínuas onde o denominador não é zero) obtemos
Passo 7
Cálculo final do valor numérico do limite.
Opcionalmente, escrevendo de outra forma: