(4 pts) Calcule os limites: Justifique todas as suas afirmações.
(a) \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{2+x^{2}}-\sqrt{2}}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite quando x tende a 0:
\lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{2+x^{2}}-\sqrt{2}}{x^{2}}.
Informações relevantes dadas:
  • A expressão é uma razão com numerador \sqrt{2+x^{2}}-\sqrt{2} e denominador x^{2}.
  • Quando x=0 o numerador vale \sqrt{2}-\sqrt{2}=0 e o denominador vale 0, portanto a expressão tem a forma indeterminada \tfrac{0}{0} na avaliação direta em x=0.
  • O objetivo é justificar cada afirmação e chegar ao valor do limite.

Passo 2

Entendendo a forma indeterminada \tfrac{0}{0} e o que isso permite fazer.
  • Quando uma expressão de limite apresenta \tfrac{0}{0}, isso significa que a substituição direta não dá resposta e que é preciso manipular algébrica ou analiticamente a expressão para obter uma forma cujo limite exista e possa ser calculado.
  • Uma técnica clássica para eliminar diferenças envolvendo raízes é multiplicar por um conjugado: para termos do tipo \sqrt{A}-\sqrt{B} multiplica-se por \sqrt{A}+\sqrt{B} para usar a identidade (\sqrt{A}-\sqrt{B})(\sqrt{A}+\sqrt{B})=A-B.
    Vou aplicar essa técnica ao numerador.

Passo 3

Multiplicar numerador e denominador pelo conjugado \sqrt{2+x^{2}}+\sqrt{2}.
\frac{\sqrt{2+x^{2}}-\sqrt{2}}{x^{2}} =\frac{\sqrt{2+x^{2}}-\sqrt{2}}{x^{2}}\cdot\frac{\sqrt{2+x^{2}}+\sqrt{2}}{\sqrt{2+x^{2}}+\sqrt{2}}.
Essa multiplicação é válida para todo x tal que \sqrt{2+x^{2}}+\sqrt{2}\neq 0. Como \sqrt{2+x^{2}}>0 e \sqrt{2}>0, o denominador auxiliar é sempre positivo; portanto a igualdade vale para todo x real. Agora simplifico o numerador usando a identidade citada.

Passo 4

Simplificação algébrica após multiplicar pelo conjugado.
\frac{\sqrt{2+x^{2}}-\sqrt{2}}{x^{2}} = \frac{( \sqrt{2+x^{2}}-\sqrt{2})(\sqrt{2+x^{2}}+\sqrt{2})}{x^{2}\,(\sqrt{2+x^{2}}+\sqrt{2})} = \frac{(2+x^{2})-2}{x^{2}\,(\sqrt{2+x^{2}}+\sqrt{2})}.
\frac{(2+x^{2})-2}{x^{2}\,(\sqrt{2+x^{2}}+\sqrt{2})} = \frac{x^{2}}{x^{2}\,(\sqrt{2+x^{2}}+\sqrt{2})}.
Como x^{2} aparece tanto no numerador quanto no denominador (e x^{2}>0 para x\neq 0), podemos simplificar para obter, para x\neq 0,
\frac{\sqrt{2+x^{2}}-\sqrt{2}}{x^{2}} = \frac{1}{\sqrt{2+x^{2}}+\sqrt{2}}.

Passo 5

Justificando a passagem para o limite após simplificação.
  • Observação importante: a igualdade obtida no passo anterior vale para todo x\neq 0. Para fins de cálculo do limite em x\to 0 podemos substituir a função original pela função simplificada, pois duas funções que coincidem em todo vizinho de 0 exceto possivelmente em 0 têm o mesmo limite em 0.
  • Agora consideramos o limite da função simplificada:
\lim_{x\to 0}\frac{1}{\sqrt{2+x^{2}}+\sqrt{2}}.

Passo 6

Uso da continuidade da função raiz quadrada para avaliar o limite.
  • A função t\mapsto \sqrt{t} é contínua em t=2 (na verdade em todo (0,\infty)). Isso significa que
\lim_{x\to 0}\sqrt{2+x^{2}}=\sqrt{2+0^{2}}=\sqrt{2}.
  • Portanto, somando \sqrt{2} e invertendo (operações contínuas onde o denominador não é zero) obtemos
\lim_{x\to 0}\frac{1}{\sqrt{2+x^{2}}+\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{2}}.

Passo 7

Cálculo final do valor numérico do limite.
\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{2}}=\frac{1}{2\sqrt{2}}.
Opcionalmente, escrevendo de outra forma:
\frac{1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}.

Resposta

\dfrac{1}{2\sqrt{2}}

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