Considere um vetor:
v=\binom{x}{y}
Calcule o vetor rotacionado:
v^{\prime}=R(\theta) v

Passo 1

O enunciado dá um vetor coluna
v=\binom{x}{y}
e pede para calcular o vetor rotacionado
v' = R(\theta)\,v.
Informações fornecidas:
  • As componentes do vetor original são x e y (números reais).
  • \theta é o ângulo de rotação (em radianos ou graus, desde que consistente).
  • R(\theta) é a matriz de rotação desconhecida a ser aplicada a v.

Passo 2

Definir explicitamente a matriz de rotação. A matriz que representa uma rotação no plano de ângulo \theta em torno da origem tem por colunas as imagens dos vetores base (1,0) e (0,1) após a rotação. O vetor unitário (1,0) rotacionado de \theta vai para (\cos\theta,\sin\theta) e o vetor (0,1) rotacionado de \theta vai para (-\sin\theta,\cos\theta). Portanto:
R(\theta)=\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta\\[4pt] \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}.
Explicando os símbolos:
  • \cos\theta e \sin\theta são as funções trigonométricas cosseno e seno do ângulo \theta.
  • As colunas da matriz correspondem a onde vão os vetores da base após a rotação.]

Passo 3

Fazer a multiplicação matricial passo a passo. Multiplicar R(\theta) pelo vetor v:
v' = R(\theta)\,v = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta\\[4pt] \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix}.
Para obter a primeira componente de v' multiplicar a primeira linha da matriz pelo vetor:
x' = (\cos\theta)\,x + (-\sin\theta)\,y = x\cos\theta - y\sin\theta.
Para obter a segunda componente de v' multiplicar a segunda linha da matriz pelo vetor:
y' = (\sin\theta)\,x + (\cos\theta)\,y = x\sin\theta + y\cos\theta.
Portanto, o vetor resultado é
v'=\begin{pmatrix} x\cos\theta - y\sin\theta\\[4pt] x\sin\theta + y\cos\theta \end{pmatrix}.]

Passo 4

Interpretação geométrica e verificação simples. A fórmula significa que cada ponto (x,y) do plano é levado para o ponto (x',y') que resulta de girar (x,y) em torno da origem por ângulo \theta no sentido anti-horário.
Exemplo rápido para fixar: se v=(1,0)^\top (o ponto na direção x-positiva), então
v'=\begin{pmatrix}\cos\theta\\[4pt]\sin\theta\end{pmatrix},
que é exatamente o ponto no círculo unitário com ângulo \theta. Se \theta=\tfrac{\pi}{2} (90º) então v'=(0,1)^\top, como esperado.]

Passo 5

Propriedade útil para prova: rotação preserva o comprimento. Mostrar que \|v'\|^2=\|v\|^2. Calcular:
\begin{aligned} \|v'\|^2 &= (x\cos\theta - y\sin\theta)^2 + (x\sin\theta + y\cos\theta)^2\\[4pt] &= x^2\cos^2\theta -2xy\cos\theta\sin\theta + y^2\sin^2\theta\\[4pt] &\quad + x^2\sin^2\theta +2xy\sin\theta\cos\theta + y^2\cos^2\theta\\[4pt] &= x^2(\cos^2\theta+\sin^2\theta) + y^2(\sin^2\theta+\cos^2\theta)\\[4pt] &= x^2 + y^2, \end{aligned}
onde foi usada a identidade trigonométrica \cos^2\theta+\sin^2\theta=1 e os termos cruzados se cancelaram. Isso confirma que a transformação é uma rotação rígida (preserva distâncias).]

Passo 6

Dicas práticas para a prova (modo amigo):
  • Decore a matriz R(\theta)=\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\[4pt]\sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}. Uma maneira de lembrar: a primeira coluna é a imagem de (1,0), a segunda coluna é a imagem de (0,1).
  • Lembre-se dos sinais: o -\sin\theta fica no canto superior direito (isso garante que o sentido é anti-horário).
  • Se precisar rotacionar no sentido horário, use \theta\mapsto -\theta (pois \cos(-\theta)=\cos\theta e \sin(-\theta)=-\sin\theta).
  • Para cálculos rápidos sem calculadora, use ângulos notáveis (0, \tfrac{\pi}{6}, \tfrac{\pi}{4}, \tfrac{\pi}{3}, \tfrac{\pi}{2}) cujos \sin e \cos são conhecidos.
  • Força aí — a fórmula é direta e cai muito em prova; decorando a matriz e praticando duas ou três aplicações você pega o jeito rápido.]

Resposta

v'=\begin{pmatrix} x\cos\theta - y\sin\theta\\[4pt] x\sin\theta + y\cos\theta \end{pmatrix}]

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