Considere um vetor:
Calcule o vetor rotacionado:
Passo 1
O enunciado dá um vetor coluna
e pede para calcular o vetor rotacionado
Informações fornecidas:
- As componentes do vetor original são
e (números reais). -
é o ângulo de rotação (em radianos ou graus, desde que consistente). -
é a matriz de rotação desconhecida a ser aplicada a .
Passo 2
Definir explicitamente a matriz de rotação. A matriz que representa uma rotação no plano de ângulo
em torno da origem tem por colunas as imagens dos vetores base
e
após a rotação. O vetor unitário
rotacionado de
vai para
e o vetor
rotacionado de
vai para
. Portanto:
Explicando os símbolos:
-
e são as funções trigonométricas cosseno e seno do ângulo . - As colunas da matriz correspondem a onde vão os vetores da base após a rotação.]
Passo 3
Fazer a multiplicação matricial passo a passo. Multiplicar
pelo vetor
:
Para obter a primeira componente de
multiplicar a primeira linha da matriz pelo vetor:
Para obter a segunda componente de
multiplicar a segunda linha da matriz pelo vetor:
Portanto, o vetor resultado é
Passo 4
Interpretação geométrica e verificação simples. A fórmula significa que cada ponto
do plano é levado para o ponto
que resulta de girar
em torno da origem por ângulo
no sentido anti-horário.
Exemplo rápido para fixar: se
(o ponto na direção
-positiva), então
que é exatamente o ponto no círculo unitário com ângulo
. Se
(90º) então
, como esperado.]
Passo 5
Propriedade útil para prova: rotação preserva o comprimento. Mostrar que
. Calcular:
onde foi usada a identidade trigonométrica
e os termos cruzados se cancelaram. Isso confirma que a transformação é uma rotação rígida (preserva distâncias).]
Passo 6
Dicas práticas para a prova (modo amigo):
- Decore a matriz
. Uma maneira de lembrar: a primeira coluna é a imagem de , a segunda coluna é a imagem de . - Lembre-se dos sinais: o
fica no canto superior direito (isso garante que o sentido é anti-horário). - Se precisar rotacionar no sentido horário, use
(pois e ). - Para cálculos rápidos sem calculadora, use ângulos notáveis (0,
, , , ) cujos e são conhecidos. - Força aí — a fórmula é direta e cai muito em prova; decorando a matriz e praticando duas ou três aplicações você pega o jeito rápido.]