Pede-se escrever a matriz de rotação em torno do eixo y.
A informação essencial é que haverá um ângulo de rotação, que chamamos de \theta.
Não há outras restrições no enunciado (convenção de sinal será escolhida abaixo para derivar a matriz exibida).
Passo 2
Definindo coordenadas e o efeito geométrico da rotação:
Considere um vetor posição genérico em \mathbb{R}^3 com coordenadas \,(x,y,z).
A rotação em torno do eixo y mantém a coordenada y inalterada, porque o eixo y é a “linha” em torno da qual giramos.
O que muda é a projeção do vetor no plano xz: os componentes x e z sofrem uma rotação plana de ângulo \theta.
Para descrever isso convenientemente, passe para coordenadas polares no plano xz: definar=\sqrt{x^{2}+z^{2}}, \qquad x=r\cos\varphi, \qquad z=r\sin\varphi,onde \varphi é o ângulo do vetor projetado no plano xz medido a partir do eixo x.
Passo 3
Escolha de convenção de sinal e efeito sobre o ângulo:
Vou usar a convenção segundo a qual a rotação por \theta transforma o ângulo \varphi em \varphi'=\varphi-\theta. (Essa escolha gera a matriz fornecida no enunciado; outras convenções trocam sinais das entradas.)
Aplicando as fórmulas trigonométricas para soma/diferença de ângulos:x' = r\cos(\varphi') = r\cos(\varphi-\theta)=r(\cos\varphi\cos\theta+\sin\varphi\sin\theta),
Volte para x,z usando x=r\cos\varphi e z=r\sin\varphi. Substituindo, obtemosx' = x\cos\theta + z\sin\theta, \qquad z' = -x\sin\theta + z\cos\theta.
A coordenada y permanece igual:y' = y.
Passo 4
Organizando a transformação linear na forma matricial:
A relação entre os vetores antes e depois da rotação pode ser escrita como\begin{pmatrix}x'\\[4pt]y'\\[4pt]z'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & 0 & \sin\theta \\[4pt] 0 & 1 & 0 \\[4pt] -\sin\theta & 0 & \cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\[4pt]y\\[4pt]z\end{pmatrix}.
Portanto a matriz de rotação em torno do eixo y (na convenção usada) é exatamente a matriz acima.]
Passo 5
Interpretação prática e propriedades importantes (para usar na prova):
A matriz age sobre os vetores da base canônica como:R_{y}(\theta)\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\cos\theta\\[4pt]0\\[4pt]-\sin\theta\end{pmatrix}, \qquad R_{y}(\theta)\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\sin\theta\\[4pt]0\\[4pt]\cos\theta\end{pmatrix}, \qquad R_{y}(\theta)\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix}.Isso mostra que o eixo y fica fixo e que x e z giram entre si.
Propriedades úteis na prova:
R_{y}(\theta) é ortogonal: R_{y}(\theta)^{T}R_{y}(\theta)=I.
\det R_{y}(\theta)=1 (rotação propriamente dita, sem inversão).
A inversa é a transposta e também a rotação pelo ângulo negativo:R_{y}(\theta)^{-1}=R_{y}(\theta)^{T}=R_{y}(-\theta).
Exemplo numérico rápido: para \theta=\tfrac{\pi}{2} (90^\circ),\cos\theta=0,\qquad \sin\theta=1,