Escreva a matriz de rotação em torno do eixo y :
R_{y}(\theta)=\left(\begin{array}{ccc} \cos \theta & 0 & \sin \theta \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ -\sin \theta & 0 & \cos \theta \end{array}\right)

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado:
  • Pede-se escrever a matriz de rotação em torno do eixo y.
  • A informação essencial é que haverá um ângulo de rotação, que chamamos de \theta.
  • Não há outras restrições no enunciado (convenção de sinal será escolhida abaixo para derivar a matriz exibida).

Passo 2

Definindo coordenadas e o efeito geométrico da rotação:
  • Considere um vetor posição genérico em \mathbb{R}^3 com coordenadas \,(x,y,z).
  • A rotação em torno do eixo y mantém a coordenada y inalterada, porque o eixo y é a “linha” em torno da qual giramos.
  • O que muda é a projeção do vetor no plano xz: os componentes x e z sofrem uma rotação plana de ângulo \theta.
  • Para descrever isso convenientemente, passe para coordenadas polares no plano xz: defina r=\sqrt{x^{2}+z^{2}}, \qquad x=r\cos\varphi, \qquad z=r\sin\varphi,onde \varphi é o ângulo do vetor projetado no plano xz medido a partir do eixo x.

Passo 3

Escolha de convenção de sinal e efeito sobre o ângulo:
  • Vou usar a convenção segundo a qual a rotação por \theta transforma o ângulo \varphi em \varphi'=\varphi-\theta. (Essa escolha gera a matriz fornecida no enunciado; outras convenções trocam sinais das entradas.)
  • Aplicando as fórmulas trigonométricas para soma/diferença de ângulos: x' = r\cos(\varphi') = r\cos(\varphi-\theta)=r(\cos\varphi\cos\theta+\sin\varphi\sin\theta),
z' = r\sin(\varphi') = r\sin(\varphi-\theta)=r(\sin\varphi\cos\theta-\cos\varphi\sin\theta).
  • Volte para x,z usando x=r\cos\varphi e z=r\sin\varphi. Substituindo, obtemos x' = x\cos\theta + z\sin\theta, \qquad z' = -x\sin\theta + z\cos\theta.
  • A coordenada y permanece igual: y' = y.

Passo 4

Organizando a transformação linear na forma matricial:
  • A relação entre os vetores antes e depois da rotação pode ser escrita como \begin{pmatrix}x'\\[4pt]y'\\[4pt]z'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & 0 & \sin\theta \\[4pt] 0 & 1 & 0 \\[4pt] -\sin\theta & 0 & \cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\[4pt]y\\[4pt]z\end{pmatrix}.
  • Portanto a matriz de rotação em torno do eixo y (na convenção usada) é exatamente a matriz acima.]

Passo 5

Interpretação prática e propriedades importantes (para usar na prova):
  • A matriz age sobre os vetores da base canônica como: R_{y}(\theta)\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\cos\theta\\[4pt]0\\[4pt]-\sin\theta\end{pmatrix}, \qquad R_{y}(\theta)\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\sin\theta\\[4pt]0\\[4pt]\cos\theta\end{pmatrix}, \qquad R_{y}(\theta)\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix}.Isso mostra que o eixo y fica fixo e que x e z giram entre si.
  • Propriedades úteis na prova:
    • R_{y}(\theta) é ortogonal: R_{y}(\theta)^{T}R_{y}(\theta)=I.
    • \det R_{y}(\theta)=1 (rotação propriamente dita, sem inversão).
    • A inversa é a transposta e também a rotação pelo ângulo negativo: R_{y}(\theta)^{-1}=R_{y}(\theta)^{T}=R_{y}(-\theta).
  • Exemplo numérico rápido: para \theta=\tfrac{\pi}{2} ( 90^\circ), \cos\theta=0,\qquad \sin\theta=1,
R_{y}\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)= \begin{pmatrix}0&0&1\\[4pt]0&1&0\\[4pt]-1&0&0\end{pmatrix},
que leva (1,0,0) em (0,0,-1), consistente com a convenção escolhida.]

Resposta

R_{y}(\theta)=\begin{pmatrix} \cos \theta & 0 & \sin \theta \\[4pt] 0 & 1 & 0 \\[4pt] -\sin \theta & 0 & \cos \theta \end{pmatrix}]

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