(2,0 pts) Calcule, usando o produto misto, o volume do cubo determinado por 2 i, 2 j e -2 k.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume de um cubo usando o produto misto, que envolve vetores. Para isso, vamos precisar entender o que é o produto misto e como aplicá-lo usando os vetores fornecidos: , e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o produto misto. O produto misto de três vetores a cdot (b times c) , , e é dado por:
Ele nos dá o volume do paralelepípedo formado por esses três vetores. No caso de um cubo, como todos os lados são iguais e perpendiculares, o volume calculado pelo produto misto será o volume do cubo.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso aos vetores dados:
a = 2i, b = 2j, c = -2k
Primeiro, calculamos o produto vetorial b times c = (2j) times (-2k) = -4(j times k) :
b times c = -4i
Sabemos que , então:

Passo 4

Agora, fazemos o produto escalar de a cdot (b times c) = (2i) cdot (-4i) = 2 times (-4) times (i cdot i) com o resultado do produto vetorial:
a cdot (b times c) = -8
Como , então:

Resposta

O volume do cubo é unidades cúbicas.

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