(2,0 pts) Calcule, usando o produto misto, o volume do cubo determinado por
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume de um cubo usando o produto misto, que envolve vetores. Para isso, vamos precisar entender o que é o produto misto e como aplicá-lo usando os vetores fornecidos:
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o produto misto. O produto misto de três vetores
,
, e
é dado por:
Ele nos dá o volume do paralelepípedo formado por esses três vetores. No caso de um cubo, como todos os lados são iguais e perpendiculares, o volume calculado pelo produto misto será o volume do cubo.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso aos vetores dados:
Primeiro, calculamos o produto vetorial
:
Sabemos que
, então:
Passo 4
Agora, fazemos o produto escalar de
com o resultado do produto vetorial:
Como
, então:
Resposta
O volume do cubo é
unidades cúbicas.