(0, 4 pts) Calcule o valor de lim x 0 g(x) sem usar o método de Bernoulli-l’Hôpital, caso exista. Se não existir, justifique
g(x)= sen(x)x & se x<0 2 & se x=0 1-ln (1-x)cos ^2(x) & se x>0

Passo 1

O enunciado define a função
g(x)= dfracsen(x)x,&x<0,[6pt] 2,&x=0,[6pt] dfrac1-ln(1-x)cos^2(x),&x>0,
e pede limxto0g(x). O conteúdo aqui são limites laterais e uso da continuidade de funções elementares para avaliá-los sem recorrer a Bernoulli–l’Hôpital.]

Passo 2

Calculamos o limite pela esquerda usando o limite notório de sen(x)/x:
limxto0^-sen(x)x=1

Passo 3

Para o limite pela direita, note que as funções
f1(x)=1-ln(1-x) e f2(x)=cos^2(x)
são contínuas em x=0 e f2(0)=cos^2(0)=1neq0. Logo,
limxto0^+l(1-ln(1-x)r)=1-ln(1)=1,
limxto0^+cos^2(x)=1,
e por continuidade da divisão,
limxto0^+1-ln(1-x)cos^2(x)=11=1

Passo 4

Como os limites laterais coincidem em 1, o limite geral existe e vale 1.

Resposta

1

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