g)

Passo 1

Queremos calcular
integral x^2cos(3x),dx
usando o método de integração por partes, que vem da fórmula
integral u,dv = uv - integral v,du

Passo 2

Escolhemos na primeira aplicação de partes
u = x^2, dv = cos(3x),dx
Então
du = 2x,dx, v = integral cos(3x),dx = 13sin(3x)
Substituindo na fórmula
integral x^2cos(3x),dx = x^2,13sin(3x) - integral 13sin(3x),2x,dx
e agrupando constantes, fica
integral x^2cos(3x),dx = 13x^2sin(3x) - 23integral xsin(3x),dx

Passo 3

Chamemos
J = integral xsin(3x),dx
e apliquemos partes novamente com
u = x, dv = sin(3x),dx
Então
du = dx, v = integral sin(3x),dx = -13cos(3x)
Logo
J = xl(-tfrac13cos(3x)r) - integral l(-tfrac13cos(3x)r),dx

Passo 4

Continuando a simplificar
J = -x3cos(3x) + 13integral cos(3x),dx = -x3cos(3x) + 13cdot13sin(3x) + C
ou seja
integral xsin(3x),dx = -x3cos(3x) + 19sin(3x) + C

Passo 5

Substituindo J de volta em
integral x^2cos(3x),dx = 13x^2sin(3x) - 23J, temos
integral x^2cos(3x),dx = 13x^2sin(3x) - 23l(-tfracx3cos(3x)+tfrac19sin(3x)r) + C
Distribuindo e somando constantes, obtemos
integral x^2cos(3x),dx = x^23sin(3x) + 2x9cos(3x) - 227sin(3x) + C

Resposta

boxed integral x^2cos(3x),dx = x^23sin(3x) + 2x9cos(3x) - 227sin(3x) + C

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