Resolva as seguintes equações diferenciais por meio de séries de potências em torno de
.
;
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
por meio de séries de potências em torno de
. O conteúdo aqui é o desenvolvimento em série de potências: vamos assumir
calcular
, substituir na EDO e igualar coeficientes de potências de
para obter uma relação de recorrência para os
.
Passo 2
Assumimos
Também
Passo 3
Substituindo em
obtemos
Para o termo em
(quando
) dá
Para
igualamos coeficientes de
:
Passo 4
A recorrência
liga
a
, ou seja, a cada passo pulamos três índices. Como
, segue que
logo todos os
. Restam duas subfamílias de coeficientes livres:
e
.
Passo 5
Vamos gerar os primeiros termos em cada caso.
Para a série iniciada em
(coeficientes
):
e assim por diante.
Para a série iniciada em
(coeficientes
):
etc.
Passo 6
Reagregando em duas soluções independentes, escrevemos
onde
Resposta
A solução geral em torno de
é
sendo
e
.