Resolva as seguintes equações diferenciais por meio de séries de potências em torno de x=0.
y^prime prime-x y=0;

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y'' - x,y = 0
por meio de séries de potências em torno de x=0. O conteúdo aqui é o desenvolvimento em série de potências: vamos assumir
y(x)=sumn=0^inftyanx^n,
calcular y'', substituir na EDO e igualar coeficientes de potências de x para obter uma relação de recorrência para os an.

Passo 2

Assumimos
y(x)=sumn=0^inftyanx^n Longrightarrow y''(x)=sumn=0^infty(n+2)(n+1),an+2,x^n
Também
x,y(x)=sumn=0^inftyan,x^n+1 =sumn=1^inftyan-1,x^n

Passo 3

Substituindo em
y'' - x,y = 0
obtemos
sumn=0^infty(n+2)(n+1),an+2,x^n - sumn=1^inftyan-1,x^n =0
Para o termo em x^0 (quando n=0) dá
2cdot1,a2=0 Longrightarrow a2=0
Para n>=1 igualamos coeficientes de x^n:
(n+2)(n+1),an+2 - an-1=0 Longrightarrow an+2=an-1(n+2)(n+1)

Passo 4

A recorrência
an+2=an-1(n+2)(n+1)
liga an+2 a an-1, ou seja, a cada passo pulamos três índices. Como a2=0, segue que
a5=a2/(5cdot4)=0,;a8=a5/(8cdot7)=0,;dots
logo todos os a3m+2=0. Restam duas subfamílias de coeficientes livres: a0 e a1.

Passo 5

Vamos gerar os primeiros termos em cada caso.
Para a série iniciada em a0 (coeficientes a3m):
a3 =a03cdot2 =a06, a6 =a36cdot5 =a06cdot30 =a0180,
e assim por diante.
Para a série iniciada em a1 (coeficientes a3m+1):
a4 =a14cdot3 =a112, a7 =a47cdot6 =a112cdot42 =a1504,
etc.

Passo 6

Reagregando em duas soluções independentes, escrevemos
y(x)=a0,y1(x)+a1,y2(x),
onde
y1(x) =1+x^36+x^6180+x^915120+cdots,
y2(x) =x+x^412+x^7504+x^1045360+cdots

Resposta

A solução geral em torno de x=0 é
boxed y(x)=C1l(1+tfracx^36+tfracx^6180+cdotsr) ;+; C2l(x+tfracx^412+tfracx^7504+cdotsr),
sendo C1=a0 e C2=a1.

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