Determine quais dos conjunto J \subset \mathbb{Q}[x] são ideais. Em caso afirmativo, calcule o polinômio mônico tal que J=p(x) \mathbb{Q}[x] e se o ideal é maximal ou não.
J=\{f(x) \in \mathbb{Q}[x] \mid f(-3)=0 e f(2) \neq 0\}

Passo 1

O enunciado pede para decidir se o conjunto
J=\{f(x)\in\mathbb{Q}[x]\mid f(-3)=0\\ \text{e}\\ f(2)\neq0\}
é um ideal de \mathbb{Q}[x]. Se for ideal, preciso encontrar o polinômio monico p(x) tal que J=p(x)\mathbb{Q}[x] e dizer se o ideal é maximal. As informações dadas são exatamente as duas condições sobre os valores dos polinômios em x=-3 e x=2.

Passo 2

Lembrete rápido (didático e tranquilo) sobre o que é preciso para um subconjunto I\subseteq\mathbb{Q}[x] ser ideal:
  1. I deve conter o polinômio zero 0.
  2. I deve ser fechado sob soma: se f,g\in I então f+g\in I.
  3. I deve ser fechado sob inverso aditivo: se f\in I então -f\in I.
  4. I deve ser absorvente por multiplicação por qualquer polinômio: se f\in I e h\in\mathbb{Q}[x] então h f\in I.
Explicando cada ponto com calma:
  • O polinômio zero é aquele que envia todo x para 0. Em particular, 0(-3)=0 e 0(2)=0.
  • A condição (1) é obrigatória porque um ideal é um subgrupo aditivo, e o elemento neutro do grupo aditivo é 0.
  • As demais propriedades garantem que o conjunto seja um submódulo / subgrupo absorvente do anel.

Passo 3

Verifico imediatamente a condição sobre o polinômio zero. O polinômio zero satisfaz 0(-3)=0 (ok para a primeira condição) mas tem 0(2)=0, ou seja não satisfaz 0(2)\neq0. Logo 0\notin J.
Como 0 não pertence a J, J já falha a propriedade (1) necessária para ser um ideal. Portanto J não pode ser um ideal.

Passo 4

Para ficar ainda mais claro e intuitivo — e mostrar uma violação explícita de fechamento sob soma — construo dois polinômios em J cuja soma não pertence a J. Considere
f(x)=x+3\quad\text{e}\quad g(x)=-(x+3).
Calculo os valores:
f(-3)=0,\quad f(2)=5\neq0,
g(-3)=0,\quad g(2)=-5\neq0.
Portanto f,g\in J. Mas
f(x)+g(x)=0,
o polinômio zero, que não pertence a J porque 0(2)=0. Assim J não é fechado sob soma, confirmando que J não é ideal.

Resposta

J não é ideal.

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