Determine quais dos conjunto
são ideais. Em caso afirmativo, calcule o polinômio mônico tal que
e se o ideal é maximal ou não.
e
Passo 1
O enunciado pede para decidir se o conjunto
é um ideal de
. Se for ideal, preciso encontrar o polinômio monico
tal que
e dizer se o ideal é maximal. As informações dadas são exatamente as duas condições sobre os valores dos polinômios em
e
.
Passo 2
Lembrete rápido (didático e tranquilo) sobre o que é preciso para um subconjunto
ser ideal:
-
deve conter o polinômio zero . -
deve ser fechado sob soma: se então . -
deve ser fechado sob inverso aditivo: se então . -
deve ser absorvente por multiplicação por qualquer polinômio: se e então .
Explicando cada ponto com calma:
- O polinômio zero é aquele que envia todo
para . Em particular, e . - A condição (1) é obrigatória porque um ideal é um subgrupo aditivo, e o elemento neutro do grupo aditivo é
. - As demais propriedades garantem que o conjunto seja um submódulo / subgrupo absorvente do anel.
Passo 3
Verifico imediatamente a condição sobre o polinômio zero. O polinômio zero satisfaz
(ok para a primeira condição) mas tem
, ou seja não satisfaz
. Logo
.
Como
não pertence a
,
já falha a propriedade (1) necessária para ser um ideal. Portanto
não pode ser um ideal.
Passo 4
Para ficar ainda mais claro e intuitivo — e mostrar uma violação explícita de fechamento sob soma — construo dois polinômios em
cuja soma não pertence a
. Considere
Calculo os valores:
Portanto
. Mas
o polinômio zero, que não pertence a
porque
. Assim
não é fechado sob soma, confirmando que
não é ideal.