(6 pts) Considere os vetores no plano u=(1,2) e v=(-3,1) para determinar:
a equação paramétrica da reta paralela a u que passa pela origem.

Passo 1

O enunciado fornece os vetores no plano \,u=(1,2)\, e \,v=(-3,1)\, e pede: determinar a equação paramétrica da reta paralela a \,u\, que passa pela origem. \n
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Vetor direção dado: \,u=(1,2)\,.
  • A reta passa pela origem: ponto P_0=(0,0).
  • A pergunta é somente a equação paramétrica da reta (não pede forma cartesiana, mas pode-se mostrar como consequência).

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicando cada coisa). \n
Se uma reta no plano passa por um ponto P_0=(x_0,y_0) e tem vetor direção \,d=(a,b)\,, então a equação paramétrica da reta é dada por
\mathbf{r}(t)=P_0+t\,d,
onde t\in\mathbb{R} é o parâmetro real. Em coordenadas isso significa
x=x_0+a\,t,\qquad y=y_0+b\,t.
O que cada símbolo significa:
  • \mathbf{r}(t) é o vetor posição de um ponto genérico da reta quando o parâmetro vale t.
  • P_0=(x_0,y_0) é um ponto fixo da reta (aqui a origem).
  • d=(a,b) é o vetor direção: indica a direção e o sentido da reta. Qualquer múltiplo escalar de d dá a mesma direção (retas paralelas).
  • t varia em todos os reais e percorre todos os pontos da reta: para t=0 obtém-se P_0; para t=1 obtém-se P_0+d, etc.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso. \n
Aqui P_0=(0,0) (origem) e o vetor direção é d=u=(1,2). Substituindo em \mathbf{r}(t)=P_0+t\,d obtemos
\mathbf{r}(t)= (0,0)+t\,(1,2)=t\,(1,2).
Em coordenadas componentes isso dá
x=t,\qquad y=2t,
com t\in\mathbb{R}.

Passo 4

Comentário didático e checagem rápida (como usar isso na prova). \n
  • Para verificar que essa reta é de fato paralela a \,u\,, note que o vetor direção da reta é exatamente \,u. Se fosse qualquer múltiplo \lambda u também seria paralelo.
  • Para obter a equação cartesiana basta eliminar t: como x=t então y=2t=2x. Logo a reta também pode ser escrita como \,y=2x\,.
  • Exemplos rápidos para fixar: para t=1 o ponto da reta é (1,2); para t=-1 é (-1,-2). Esses pontos estão na direção de \,u=(1,2)\, a partir da origem.

Resposta

\mathbf{r}(t)=t\,(1,2),\quad t\in\mathbb{R}
x=t,\quad y=2t,\quad t\in\mathbb{R}

Exercícios relacionados