(6 pts) Considere os vetores no plano
e
para determinar:
a equação paramétrica da reta paralela a
que passa pela origem.
a equação paramétrica da reta paralela a
Passo 1
O enunciado fornece os vetores no plano
e
e pede: determinar a equação paramétrica da reta paralela a
que passa pela origem. \n
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Vetor direção dado:
. - A reta passa pela origem: ponto
. - A pergunta é somente a equação paramétrica da reta (não pede forma cartesiana, mas pode-se mostrar como consequência).
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicando cada coisa). \n
Se uma reta no plano passa por um ponto e tem vetor direção
, então a equação paramétrica da reta é dada por
Se uma reta no plano passa por um ponto
onde
é o parâmetro real. Em coordenadas isso significa
O que cada símbolo significa:
-
é o vetor posição de um ponto genérico da reta quando o parâmetro vale . -
é um ponto fixo da reta (aqui a origem). -
é o vetor direção: indica a direção e o sentido da reta. Qualquer múltiplo escalar de dá a mesma direção (retas paralelas). -
varia em todos os reais e percorre todos os pontos da reta: para obtém-se ; para obtém-se , etc.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso caso. \n
Aqui (origem) e o vetor direção é
. Substituindo em
obtemos
Aqui
Em coordenadas componentes isso dá
com
.
Passo 4
Comentário didático e checagem rápida (como usar isso na prova). \n
- Para verificar que essa reta é de fato paralela a
, note que o vetor direção da reta é exatamente . Se fosse qualquer múltiplo também seria paralelo. - Para obter a equação cartesiana basta eliminar
: como então . Logo a reta também pode ser escrita como . - Exemplos rápidos para fixar: para
o ponto da reta é ; para é . Esses pontos estão na direção de a partir da origem.