(2,5 pts) Dadas as retas r1:lx=2 t y=-t z=4-t e r2:lx=5-h y=2-h z=-3+2 h,
(a) Determine o ângulo ent re r1 e r2;
(b) Determine, caso exista, o ponto de interseção entre r1 e r2.

Passo 1

O enunciado dá duas retas em R^3:
r1: x=2t y=-t z=4-t e r2: x=5-h y=2-h z=-3+2h
O conteúdo é geometria no espaço: (a) calcular o ângulo entre as direções das retas via produto escalar; (b) achar ponto comum resolvendo o sistema paramétrico.

Passo 2

As direções são
vec v1=(2,,-1,,-1), vec v2=(-1,,-1,,2)
O produto escalar vale
vec v1cdotvec v2 =2cdot(-1)+(-1)cdot(-1)+(-1)cdot2 =-2+1-2=-3
As normas são
|vec v1|=raiz2^2+(-1)^2+(-1)^2=raiz6, |vec v2|=raiz(-1)^2+(-1)^2+2^2=raiz6
Logo
costheta =vec v1cdotvec v2|vec v1||vec v2| =-36=-tfrac12 Longrightarrow theta=arccosl(-tfrac12r)=120^circ

Passo 3

Para a interseção, igualamos as coordenadas:
2t=5-h, -t=2-h, 4-t=-3+2h
Das duas primeiras:
h=5-2t, h=2+t Longrightarrow 5-2t=2+t ;Rightarrow;3t=3;Rightarrow;t=1,;h=3
Substituindo na terceira:
4-1=3 e -3+2cdot3=3,
coerente. O ponto comum em t=1 é
(x,y,z)=(2cdot1,,-1,;4-1)=(2,-1,3)

Resposta

(a) O ângulo entre r1 e r2 é 120^circ.
(b) O ponto de interseção é l(2,-1,3r).

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