Prove que se a>0 e b, c in Z então,
MDC a b, a c=a cdot MDC b, c

Passo 1

O enunciado quer que a gente prove a seguinte igualdade para inteiros b,c e a>0:
gcd(ab,ac)=acdotgcd(b,c)
O conteúdo que vamos usar é a definição de M.D.C. (ou gcd) e o Lema de Bézout, que diz que se gcd(x,y)=1 então existem inteiros u,v tais que ux+vy=1.

Passo 2

Seja
d = gcd(b,c)
Pela propriedade fundamental do M.D.C., podemos escrever
b = d,b', c = d,c',
onde b',c'inZ e gcd(b',c')=1.

Passo 3

Substituindo em ab e ac, temos
ab = a,(d,b') = (a,d),b', ac = a,(d,c') = (a,d),c'
Logo a,d é um divisor comum de ab e ac, ou seja,
a,dmid ab e a,dmid ac ;;Longrightarrow;; a,d<= gcd(ab,ac)

Passo 4

Agora, seja k qualquer divisor comum de ab e ac. Então
kmid ab = (a,d),b' e kmid ac = (a,d),c'
Como gcd(b',c')=1, pelo Lema de Bézout existem inteiros u,v tais que
u,b' + v,c' = 1
Multiplicando essa relação por a,d, obtemos
u,(a,d,b') + v,(a,d,c') = a,d,(u,b' + v,c') = a,d
Mas k divide ambos os termos a,d,b' e a,d,c', então k divide sua combinação inteira a,d. Assim todo divisor comum k de ab e ac satisfaz kmid a,d, o que mostra que a,d é de fato o maior divisor comum.

Resposta

gcd(ab,ac)=acdotgcd(b,c)

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