Prove que se
e
então,
Passo 1
O enunciado quer que a gente prove a seguinte igualdade para inteiros
e
:
O conteúdo que vamos usar é a definição de M.D.C. (ou
) e o Lema de Bézout, que diz que se
então existem inteiros
tais que
.
Passo 2
Seja
Pela propriedade fundamental do M.D.C., podemos escrever
onde
e
.
Passo 3
Substituindo em
e
, temos
Logo
é um divisor comum de
e
, ou seja,
Passo 4
Agora, seja
qualquer divisor comum de
e
. Então
Como
, pelo Lema de Bézout existem inteiros
tais que
Multiplicando essa relação por
, obtemos
Mas
divide ambos os termos
e
, então
divide sua combinação inteira
. Assim todo divisor comum
de
e
satisfaz
, o que mostra que
é de fato o maior divisor comum.