Questão 1. O subespaço S=(x, y, z, w) in R^4: x1+x2+x3+x4=0 ; 2 x1+x2-x3+x4=0 ; x1-x2+2 x3+3 x4= 0 subset R^4 tem dimensão igual a:
1 2
1 square 3
3

Passo 1

O enunciado pede a dimensão do subespaço
S = (x1,x2,x3,x4)inR^4mid x1+x2+x3+x4=0,; 2x1+x2-x3+x4=0,; x1-x2+2x3+3x4=0
O conteúdo é Álgebra Linear: usaremos o Teorema do Núcleo e Imagem (rank–nullity) para calcular dim S = 4 - rank(A), onde A é a matriz dos coeficientes.

Passo 2

Formamos a matriz dos coeficientes das equações lineares homogenias:
A = 1 & 1 & 1 & 1 2 & 1 & -1 & 1 1 & -1 & 2 & 3
Aplicamos eliminação de Gauss para encontrar o posto de A.

Passo 3

Usamos operações de linha:
1 & 1 & 1 & 1 2 & 1 & -1 & 1 1 & -1 & 2 & 3 ;xrightarrowL2to L2-2L1,;L3to L3-L1; 1 & 1 & 1 & 1 0 & -1 & -3 & -1 0 & -2 & 1 & 2
1 & 1 & 1 & 1 0 & -1 & -3 & -1 0 & -2 & 1 & 2 ;xrightarrowL3to L3-2L2; 1 & 1 & 1 & 1 0 & -1 & -3 & -1 0 & 0 & 7 & 4

Passo 4

Na forma escalonada vemos três linhas não nulas, logo
rank(A)=3

Passo 5

Pelo Teorema do Núcleo e Imagem, como A atua em R^4,
dim S = 4 - rank(A) = 4 - 3 = 1

Resposta

A dimensão de S é 1.

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