(2 pts) Dado
e
, determine a projeção de
sobre
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Vetor
. - Vetor
.
O que é pedido:
- Determinar a projeção de
sobre (isto é, o vetor projeção de na direção de ).
Passo 2
Vamos relembrar e calcular o produto escalar entre
e
. O produto escalar de dois vetores
e
é
ou seja, multiplicamos componente a componente e somamos. Aqui,
Portanto o produto escalar é
.
Passo 3
Agora calculamos o quadrado da norma de
. A norma de
é
então o quadrado da norma é
Para
temos
Passo 4
A fórmula da projeção vetorial de
sobre
(denotada por
) é
Explicando cada parte:
-
é o produto escalar (já calculado no Passo 2). -
é o quadrado da norma de (já no Passo 3). - O fator
é um número real que escala o vetor , produzindo um vetor paralelo a e com comprimento igual à componente de na direção de .
Passo 5
Substituímos os valores que já achamos:
Multiplicando escalarmente cada componente de
por
, obtemos
Passo 6
Vamos fazer uma verificação útil: a diferença
deve ser ortogonal a
. Calculando
O produto escalar com
é
Como o produto escalar é zero, a verificação confirma que calculamos a projeção corretamente (diferença ortogonal a
e projeção paralela a
).