(2 pts) Dado \vec{a}=(3,2,-1) e \vec{b}=(1,0,2), determine a projeção de \vec{a} sobre \vec{b}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Vetor \vec{a}=(3,2,-1).
  • Vetor \vec{b}=(1,0,2).
O que é pedido:
  • Determinar a projeção de \vec{a} sobre \vec{b} (isto é, o vetor projeção de \vec{a} na direção de \vec{b}).

Passo 2

Vamos relembrar e calcular o produto escalar entre \vec{a} e \vec{b}. O produto escalar de dois vetores \vec{u}=(u_1,u_2,u_3) e \vec{v}=(v_1,v_2,v_3) é
\vec{u}\cdot\vec{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3,
ou seja, multiplicamos componente a componente e somamos. Aqui,
\vec{a}\cdot\vec{b}=3\cdot1 + 2\cdot0 + (-1)\cdot2 = 3 + 0 - 2 = 1.
Portanto o produto escalar é \vec{a}\cdot\vec{b}=1.

Passo 3

Agora calculamos o quadrado da norma de \vec{b}. A norma de \vec{v}=(v_1,v_2,v_3) é
\|\vec{v}\|=\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2},
então o quadrado da norma é
\|\vec{v}\|^2 = v_1^2+v_2^2+v_3^2.
Para \vec{b} temos
\|\vec{b}\|^2 = 1^2 + 0^2 + 2^2 = 1 + 0 + 4 = 5.

Passo 4

A fórmula da projeção vetorial de \vec{a} sobre \vec{b} (denotada por \operatorname{proj}_{\vec b}\vec a) é
\operatorname{proj}_{\vec b}\vec a = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\|\vec{b}\|^2}\,\vec{b}.
Explicando cada parte:
  • \vec{a}\cdot\vec{b} é o produto escalar (já calculado no Passo 2).
  • \|\vec{b}\|^2 é o quadrado da norma de \vec{b} (já no Passo 3).
  • O fator \dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\|\vec{b}\|^2} é um número real que escala o vetor \vec{b}, produzindo um vetor paralelo a \vec{b} e com comprimento igual à componente de \vec{a} na direção de \vec{b}.

Passo 5

Substituímos os valores que já achamos:
\operatorname{proj}_{\vec b}\vec a = \frac{1}{5}\,\vec{b} = \frac{1}{5}(1,0,2).
Multiplicando escalarmente cada componente de \vec{b} por 1/5, obtemos
\operatorname{proj}_{\vec b}\vec a = \left(\tfrac{1}{5},\,0,\,\tfrac{2}{5}\right).

Passo 6

Vamos fazer uma verificação útil: a diferença \vec{a}-\operatorname{proj}_{\vec b}\vec a deve ser ortogonal a \vec{b}. Calculando
\vec{a}-\operatorname{proj}_{\vec b}\vec a = \left(3-\tfrac{1}{5},\,2-0,\,-1-\tfrac{2}{5}\right)=\left(\tfrac{14}{5},\,2,\,-\tfrac{7}{5}\right).
O produto escalar com \vec{b} é
\left(\tfrac{14}{5}\right)\cdot1 + 2\cdot0 + \left(-\tfrac{7}{5}\right)\cdot2 = \tfrac{14}{5} - \tfrac{14}{5} = 0.
Como o produto escalar é zero, a verificação confirma que calculamos a projeção corretamente (diferença ortogonal a \vec{b} e projeção paralela a \vec{b}).

Resposta

\displaystyle \operatorname{proj}_{\vec b}\vec a=\left(\tfrac{1}{5},\,0,\,\tfrac{2}{5}\right)

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