Demonstre a desigualdade de Schwarz utilizando apenas a definição do produto interno do Exercício 20.
Sugestão: Faça x=\vec{b} \cdot \vec{b}, y=-\vec{a} \cdot \vec{b} e observe que (x \vec{a}+y \vec{b})^{2} \geq 0.

Passo 1

O enunciado pede que demonstremos a desigualdade de Schwarz, isto é, que para quaisquer vetores \vec{a} e \vec{b} vale
(\vec{a}\cdot\vec{b})^{2} \le (\vec{a}\cdot\vec{a}) (\vec{b}\cdot\vec{b}).
Informações relevantes dadas (que podemos usar, vindas da definição de produto interno do Exercício 20):
  • Para todo vetor \vec{v} temos \vec{v}\cdot\vec{v} \ge 0 (positividade) e \vec{v}\cdot\vec{v}=0 só se \vec{v}=\vec{0}.
  • O produto interno é bilinear (linear em cada argumento) e simétrico: \vec{u}\cdot\vec{v}=\vec{v}\cdot\vec{u}.
  • A sugestão dada é usar escalares x=\vec{b}\cdot\vec{b} e y=-\vec{a}\cdot\vec{b} e observar que (x\vec{a}+y\vec{b})^{2} \ge 0. Aqui (\cdot)^{2} significa (\cdot)\cdot(\cdot).

Passo 2

Começamos a partir da positividade do produto interno: para quaisquer escalares x,y e vetores \vec{a},\vec{b} vale
(x\vec{a}+y\vec{b})\cdot(x\vec{a}+y\vec{b}) \ge 0.
Agora vamos expandir esse produto usando bilinearidade e simetria. Primeiro, escrevemos a expansão geral:
(x\vec{a}+y\vec{b})\cdot(x\vec{a}+y\vec{b}) = x^{2}(\vec{a}\cdot\vec{a}) + 2xy(\vec{a}\cdot\vec{b}) + y^{2}(\vec{b}\cdot\vec{b}).
Explicação da expansão: pela bilinearidade,
(x\vec{a})\cdot(x\vec{a})=x^{2}(\vec{a}\cdot\vec{a}),\quad (x\vec{a})\cdot(y\vec{b})=xy(\vec{a}\cdot\vec{b}),
e como (x\vec{a})\cdot(y\vec{b})=(y\vec{b})\cdot(x\vec{a}), os dois produtos mistos somam 2xy(\vec{a}\cdot\vec{b}).

Passo 3

Agora aplicamos a sugestão: tomamos os escalares
x=\vec{b}\cdot\vec{b},\qquad y=-\vec{a}\cdot\vec{b}.
Esses x e y são apenas números (escalars) porque são produtos internos. Substituindo-os na expansão do passo anterior obtemos
\begin{aligned} 0 &\le (x\vec{a}+y\vec{b})\cdot(x\vec{a}+y\vec{b}) \\\ &= x^{2}(\vec{a}\cdot\vec{a}) + 2xy(\vec{a}\cdot\vec{b}) + y^{2}(\vec{b}\cdot\vec{b}) \\\ &= (\vec{b}\cdot\vec{b})^{2}(\vec{a}\cdot\vec{a}) + 2(\vec{b}\cdot\vec{b})(-\vec{a}\cdot\vec{b})(\vec{a}\cdot\vec{b}) + (\vec{a}\cdot\vec{b})^{2}(\vec{b}\cdot\vec{b}). \end{aligned}
Agora simplificamos os termos: o segundo termo é -2(\vec{b}\cdot\vec{b})(\vec{a}\cdot\vec{b})^{2} e o terceiro é (\vec{a}\cdot\vec{b})^{2}(\vec{b}\cdot\vec{b}). Somando o segundo e terceiro termos:
-2(\vec{b}\cdot\vec{b})(\vec{a}\cdot\vec{b})^{2} + (\vec{a}\cdot\vec{b})^{2}(\vec{b}\cdot\vec{b}) = -(\vec{b}\cdot\vec{b})(\vec{a}\cdot\vec{b})^{2}.
Portanto a desigualdade fica
0 \le (\vec{b}\cdot\vec{b})^{2}(\vec{a}\cdot\vec{a}) - (\vec{b}\cdot\vec{b})(\vec{a}\cdot\vec{b})^{2}.

Passo 4

Fatorando (\vec{b}\cdot\vec{b}) na expressão do passo anterior obtemos
0 \le (\vec{b}\cdot\vec{b})\bigl[(\vec{b}\cdot\vec{b})(\vec{a}\cdot\vec{a}) - (\vec{a}\cdot\vec{b})^{2}\bigr].
Agora consideramos dois casos:
  • Se \vec{b}=\vec{0}, então \vec{a}\cdot\vec{b}=0 e (\vec{b}\cdot\vec{b})=0, e a desigualdade desejada
(\vec{a}\cdot\vec{b})^{2} \le (\vec{a}\cdot\vec{a}) (\vec{b}\cdot\vec{b})
segura-se trivialmente como 0 \le 0.
  • Se \vec{b}\neq\vec{0}, então (\vec{b}\cdot\vec{b})>0 (pela positividade estrita), logo podemos dividir a desigualdade por (\vec{b}\cdot\vec{b}) sem mudar o sentido, obtendo
0 \le (\vec{b}\cdot\vec{b})(\vec{a}\cdot\vec{a}) - (\vec{a}\cdot\vec{b})^{2},
isto é
(\vec{a}\cdot\vec{b})^{2} \le (\vec{a}\cdot\vec{a}) (\vec{b}\cdot\vec{b}).
Assim, em ambos os casos a desigualdade de Schwarz é provada.

Passo 5

Comentário adicional (útil para entender quando há igualdade): a igualdade ocorre exatamente quando o vetor usado na positividade ficou nulo, isto é, quando
x\vec{a}+y\vec{b}=(\vec{b}\cdot\vec{b})\vec{a}-(\vec{a}\cdot\vec{b})\vec{b}=\vec{0}.
Se \vec{b}\neq\vec{0} isso implica (\vec{b}\cdot\vec{b})\vec{a}=(\vec{a}\cdot\vec{b})\vec{b}, ou seja, \vec{a} é múltiplo escalar de \vec{b}. Portanto a igualdade em Schwarz ocorre se, e somente se, \vec{a} e \vec{b} são linearmente dependentes (um é múltiplo do outro) — exceto no caso trivial em que um dos vetores é o vetor zero.

Resposta

(\vec{a}\cdot\vec{b})^{2} \le (\vec{a}\cdot\vec{a}) (\vec{b}\cdot\vec{b})

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