Demonstre a desigualdade de Schwarz utilizando apenas a definição do produto interno do Exercício 20.
Sugestão: Faça
e observe que
.
Sugestão: Faça
Passo 1
O enunciado pede que demonstremos a desigualdade de Schwarz, isto é, que para quaisquer vetores
e
vale
Informações relevantes dadas (que podemos usar, vindas da definição de produto interno do Exercício 20):
- Para todo vetor
temos (positividade) e só se . - O produto interno é bilinear (linear em cada argumento) e simétrico:
. - A sugestão dada é usar escalares
e e observar que . Aqui significa .
Passo 2
Começamos a partir da positividade do produto interno: para quaisquer escalares
e vetores
vale
Agora vamos expandir esse produto usando bilinearidade e simetria. Primeiro, escrevemos a expansão geral:
Explicação da expansão: pela bilinearidade,
e como
, os dois produtos mistos somam
.
Passo 3
Agora aplicamos a sugestão: tomamos os escalares
Esses
e
são apenas números (escalars) porque são produtos internos. Substituindo-os na expansão do passo anterior obtemos
Agora simplificamos os termos: o segundo termo é
e o terceiro é
. Somando o segundo e terceiro termos:
Portanto a desigualdade fica
Passo 4
Fatorando
na expressão do passo anterior obtemos
Agora consideramos dois casos:
- Se
, então e , e a desigualdade desejada
segura-se trivialmente como
.
- Se
, então (pela positividade estrita), logo podemos dividir a desigualdade por sem mudar o sentido, obtendo
isto é
Assim, em ambos os casos a desigualdade de Schwarz é provada.
Passo 5
Comentário adicional (útil para entender quando há igualdade): a igualdade ocorre exatamente quando o vetor usado na positividade ficou nulo, isto é, quando
Se
isso implica
, ou seja,
é múltiplo escalar de
. Portanto a igualdade em Schwarz ocorre se, e somente se,
e
são linearmente dependentes (um é múltiplo do outro) — exceto no caso trivial em que um dos vetores é o vetor zero.