Se \vec{a} e \vec{b} são vetores não-nulos, utilize a expressão
\cos (\vec{a}, \vec{b})=\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|}
como definição de \cos (\vec{a}, \vec{b}) e mostre que -1 \leq \cos (\vec{a}, \vec{b}) \leq 1.

Passo 1

O enunciado dá que \vec{a} e \vec{b} são vetores não-nulos e fornece como definição
\cos(\vec{a},\vec{b})=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|}.
A tarefa é mostrar que
-1 \leq \cos(\vec{a},\vec{b}) \leq 1.
Informações relevantes dadas: \vec{a}\neq\vec{0}, \vec{b}\neq\vec{0} e a definição da função cosseno entre vetores via produto escalar e normas.

Passo 2

Vamos lembrar o que são o produto escalar e a norma, com calma. Para vetores reais:
  • O produto escalar \vec{u}\cdot\vec{v} é um número real que satisfaz propriedades lineares e simétricas.
  • A norma de um vetor \vec{u} é \|\vec{u}\|=\sqrt{\vec{u}\cdot\vec{u}}. Para \vec{u}\neq\vec{0} temos \|\vec{u}\|>0.
    Essas definições serão usadas ao expandir expressões do tipo \|\vec{a}-t\vec{b}\|^2.

Passo 3

Considere a função real de t:
f(t)=\|\vec{a}-t\vec{b}\|^2.
Observação importante: \|\vec{a}-t\vec{b}\|^2 é um quadrado de norma, logo f(t)\ge 0 para todo t\in\mathbb{R}. Esta é a peça-chave — uma expressão quadrática que nunca fica negativa.

Passo 4

Expandimos f(t) usando as propriedades do produto escalar:
\begin{aligned} f(t)&=(\vec{a}-t\vec{b})\cdot(\vec{a}-t\vec{b})\\\ &=\vec{a}\cdot\vec{a}-2t(\vec{a}\cdot\vec{b})+t^2\vec{b}\cdot\vec{b}\\\ &=\|\vec{a}\|^2-2t(\vec{a}\cdot\vec{b})+t^2\|\vec{b}\|^2. \end{aligned}
Portanto f(t) é um polinômio quadrático em t com coeficiente principal a=\|\vec{b}\|^2>0.

Passo 5

Fato sobre quadráticas: um polinômio quadrático at^2+bt+c com a>0 satisfaz at^2+bt+c\ge 0 para todo t se, e somente se, o discriminante \Delta=b^2-4ac é não-positivo ( \Delta\le 0). Aqui isso vale porque, se \Delta>0, a quadrática teria duas raízes reais e seria negativa entre elas, contradizendo f(t)\ge 0 para todo t.

Passo 6

Aplicando isso a f(t): os coeficientes são
a=\|\vec{b}\|^2,\qquad b=-2(\vec{a}\cdot\vec{b}),\qquad c=\|\vec{a}\|^2.
O discriminante é
\Delta=b^2-4ac = 4(\vec{a}\cdot\vec{b})^2 - 4\|\vec{a}\|^2\|\vec{b}\|^2.
Como f(t)\ge 0 para todo t, temos \Delta\le 0. Dividindo por 4 obtemos
(\vec{a}\cdot\vec{b})^2 \le \|\vec{a}\|^2\|\vec{b}\|^2.

Passo 7

Tirando raiz quadrada da desigualdade acima (todos os lados são não-negativos) obtemos
|\vec{a}\cdot\vec{b}|\le \|\vec{a}\|\,\|\vec{b}\|.
Como \|\vec{a}\|>0 e \|\vec{b}\|>0, podemos dividir por \|\vec{a}\|\,\|\vec{b}\| e usar a definição dada de cosseno:
\left|\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|}\right|\le 1 \quad\Longrightarrow\quad |\cos(\vec{a},\vec{b})|\le 1.

Passo 8

A desigualdade |\cos(\vec{a},\vec{b})|\le 1 é equivalente a
-1 \le \cos(\vec{a},\vec{b}) \le 1,
que é exatamente o que pedimos para mostrar.

Passo 9

Pequena intuição com exemplos (pra não ficar só no abstrato): se \vec{a}=\vec{b} então \vec{a}\cdot\vec{b}=\|\vec{a}\|^2 e \cos(\vec{a},\vec{b})=1. Se \vec{a}=-\vec{b} então \cos(\vec{a},\vec{b})=-1. Se \vec{a} é ortogonal a \vec{b} então \vec{a}\cdot\vec{b}=0 e \cos(\vec{a},\vec{b})=0. Esses casos encaixam perfeitamente na desigualdade que provamos.

Resposta

-1 \leq \cos(\vec{a},\vec{b}) \leq 1

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