(2 pts) Durante um estudo de calibração de um nivelamento geométrico, foram realizadas 25 leituras independentes da altura de um ponto de referência (RN). As observações apresentaram média de 128,37 m e desvio-padrão amostral de 0,018 \mathrm{~m}. Construa um intervalo de confiança de 95 \% para a altura média verdadeira do RN.
() I C(p, 95 \%)=[128,36 ; 128,38]
() I C(p, 95 \%)=[127,90 ; 128,84]
() I C(p, 95 \%)=[128,00 ; 128,74]
() I C(p, 95 \%)=[127,50 ; 129,30]

Passo 1

O enunciado dá uma amostra de n=25 leituras independentes da altura do RN com média amostral \bar{x}=128,37\\ \mathrm{m} e desvio-padrão amostral s=0,018\\ \mathrm{m}. Pede para construir um intervalo de confiança de 95\% para a altura média verdadeira do RN.
Informações relevantes listadas:
n=25,\quad \bar{x}=128,37,\quad s=0,018,\quad \text{nível de confiança}=95\%.íç

Passo 2

Por que procedimento usar? Aqui a variância populacional é desconhecida (temos s, não \sigma) e a amostra é pequena ( n=25), então usamos o intervalo de confiança para a média baseado na distribuição \emph{t} de Student. A fórmula do intervalo de confiança de 1-\alpha para a média é:
\bar{x}\pm t_{1-\alpha/2,\;n-1}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}}.
Explicando cada símbolo:
  • \bar{x} é a média amostral (aquela que foi medida, 128,37).
  • t_{1-\alpha/2,\;n-1} é o quantil da distribuição t com n-1 graus de liberdade correspondente a probabilidade cumulativa 1-\alpha/2. Para 95\% de confiança, \alpha=0,05 e queremos t_{0,975,\;n-1}.
  • s é o desvio-padrão amostral ( 0,018).
  • \sqrt{n} é a raiz quadrada do tamanho da amostra; \sqrt{25}=5.
  • O produto t\cdot\frac{s}{\sqrt{n}} é a margem de erro (metade da largura do intervalo).

Passo 3

Calcular o quantil t_{0,975,\;n-1}. Como n-1=24, consultando a tabela da t de Student para df=24 e nível 0,975 obtemos, aproximadamente,
t_{0,975,\;24}\approx 2,0639.
(Em prova você pode usar tabela; alguns livros arredondam para 2,064.)

Passo 4

Calcular o erro padrão da média:
\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{0,018}{\sqrt{25}}=\frac{0,018}{5}=0,0036.

Passo 5

Calcular a margem de erro:
\text{margem}=t_{0,975,\;24}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}}\approx 2,0639\cdot 0,0036.
Fazendo a multiplicação passo a passo:
2,0639\cdot 0,0036=0,00743004\approx 0,00743.

Passo 6

Construir o intervalo somando e subtraindo a margem de erro na média:
\text{limite inferior}=\bar{x}-\text{margem}=128,37-0,00743=128,36257\approx 128,36,
\text{limite superior}=\bar{x}+\text{margem}=128,37+0,00743=128,37743\approx 128,38.
Justificativa do arredondamento: os limites foram arredondados a duas casas decimais (mesma precisão da média fornecida) para comparar com as alternativas.

Passo 7

Conclusão: o intervalo de confiança de 95\% para a altura média verdadeira do RN é
I C(p,\\\ 95\%)=[128,36\\ ;\\\ 128,38].

Resposta

I C(p, 95\%)=[128,36 ; 128,38]

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