(2,0 pts.) Uma empresa fabricante de pastilhas para frios efetua um teste para controle de qualidade de seus produtos. Suponha que 1 \% das pastilhas fabricadas pelo processo atual apresenta desempenho deficiente quanto ao nível de desgaste. Seleciona-se uma amostra aleatória com 10.000 pastilhas. Especifique a distribuição amostral da proporção de pastilhas defeituosas.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que se segue:
  • A taxa verdadeira de pastilhas com desempenho deficiente é 1\%.
  • Foi retirada uma amostra aleatória de tamanho n=10\,000.
  • Pergunta: especificar a distribuição amostral da proporção de pastilhas defeituosas na amostra.
Informações numéricas que vou usar (pegas do enunciado): p=1\%=0,01 e n=10\,000.

Passo 2

Modelo exato para o número de defeituosas.
  • Considere X o número de pastilhas defeituosas na amostra de n itens.
  • Cada pastilha pode ser vista como uma tentativa de Bernoulli com probabilidade de sucesso (defeito) p=0,01, e as tentativas são independentes (hipótese padrão em amostragem aleatória simples grande).
  • Logo, X segue a distribuição binomial
X \sim \mathrm{Bin}\bigl(n=10\,000,\;p=0,01\bigr).
Explicação curta do que isto significa: a probabilidade de obter exatamente k pastilhas defeituosas é
\Pr(X=k)=\binom{10\,000}{k}\,0,01^{\,k}\,(1-0,01)^{\,10\,000-k}.

Passo 3

Distribuição exata da proporção amostral \hat p.
  • Defina a proporção amostral como
\hat p=\frac{X}{n}=\frac{X}{10\,000}.
  • Como \hat p é apenas X escalado por n, a distribuição exata de \hat p é a da binomial dividida por 10\,000. Em símbolos:
\hat p \text{ tem distribuição obtida de } X\sim\mathrm{Bin}(10\,000,0,01)\text{ por } \hat p=X/10\,000.çã

Passo 4

Esperança e variância (parâmetros da distribuição da proporção).
  • Para X\sim\mathrm{Bin}(n,p) valem as fórmulas clássicas
\mathbb{E}[X]=n p,\qquad \mathrm{Var}(X)=n p(1-p).
  • Usando \hat p=X/n e propriedades de linearidade e escala:
\mathbb{E}[\hat p]=\frac{1}{n}\mathbb{E}[X]=\frac{n p}{n}=p,
\mathrm{Var}(\hat p)=\frac{1}{n^2}\mathrm{Var}(X)=\frac{n p(1-p)}{n^2}=\frac{p(1-p)}{n}.
  • Substituindo os números:
\mathbb{E}[\hat p]=0,01, \qquad \mathrm{Var}(\hat p)=\frac{0,01\cdot0,99}{10\,000}=9,9\times10^{-7}.
  • O desvio padrão (erro padrão) é
\mathrm{SD}(\hat p)=\sqrt{9,9\times10^{-7}}\approx0,000995\\ (\text{aprox. }9,95\times10^{-4}).
Breve interpretação: em média a proporção amostral será 0,01, e a dispersão típica em torno desse valor é cerca de 0,001 (ou seja, uma décima de ponto percentual).

Passo 5

Aproximação normal (quando é válida e por que usar).
  • Para n grande, pela aproximação da distribuição binomial pela normal (ou pelo Teorema do Limite Central aplicado a somas de Bernoulli), a proporção amostral é bem aproximada por uma normal com os mesmos média e variância:
\hat p \approx \mathcal{N}\!\left(p,\;\frac{p(1-p)}{n}\right).
  • Regra prática para essa aproximação funcionar: verificar se n p e n(1-p) são suficientemente grandes (por exemplo, \ge 5 ou \ge 10). Aqui
n p=10\,000\cdot0,01=100,\qquad n(1-p)=10\,000\cdot0,99=9\,900,
ambos muito grandes, portanto a aproximação normal é excelente.

Passo 6

Conclusão final (resumo conciso e utilidade prática).
  • Exato: se X é o número de defeituosas,
X\sim\mathrm{Bin}\bigl(10\,000,0,01\bigr), \qquad \hat p=\frac{X}{10\,000}.
  • Aproximação prática útil para cálculos de intervalo de confiança ou testes:
\hat p \approx \mathcal{N}\!\left(0,01,\;9,9\times10^{-7}\right),
com desvio padrão aproximado 0,000995.
Força aí — com esses números dá para calcular probabilidades ou construir intervalos de confiança rapidinho usando a normal.

Resposta

X\sim\mathrm{Bin}\bigl(10\,000,0,01\bigr),\quad \hat p=\dfrac{X}{10\,000}.
Aproximação normal válida: \displaystyle \hat p\approx\mathcal{N}\!\left(0,01,\;9,9\times10^{-7}\right) (desvio padrão \approx0,000995).

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