(2,0 pts.) Uma empresa fabricante de pastilhas para frios efetua um teste para controle de qualidade de seus produtos. Suponha que
das pastilhas fabricadas pelo processo atual apresenta desempenho deficiente quanto ao nível de desgaste. Seleciona-se uma amostra aleatória com 10.000 pastilhas. Especifique a distribuição amostral da proporção de pastilhas defeituosas.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que se segue:
- A taxa verdadeira de pastilhas com desempenho deficiente é
. - Foi retirada uma amostra aleatória de tamanho
. - Pergunta: especificar a distribuição amostral da proporção de pastilhas defeituosas na amostra.
Informações numéricas que vou usar (pegas do enunciado):
e
.
Passo 2
Modelo exato para o número de defeituosas.
- Considere
o número de pastilhas defeituosas na amostra de itens. - Cada pastilha pode ser vista como uma tentativa de Bernoulli com probabilidade de sucesso (defeito)
, e as tentativas são independentes (hipótese padrão em amostragem aleatória simples grande). - Logo,
segue a distribuição binomial
Explicação curta do que isto significa: a probabilidade de obter exatamente
pastilhas defeituosas é
Passo 3
Distribuição exata da proporção amostral
.
- Defina a proporção amostral como
- Como
é apenas escalado por , a distribuição exata de é a da binomial dividida por . Em símbolos:
Passo 4
Esperança e variância (parâmetros da distribuição da proporção).
- Para
valem as fórmulas clássicas
- Usando
e propriedades de linearidade e escala:
- Substituindo os números:
- O desvio padrão (erro padrão) é
Breve interpretação: em média a proporção amostral será
, e a dispersão típica em torno desse valor é cerca de
(ou seja, uma décima de ponto percentual).
Passo 5
Aproximação normal (quando é válida e por que usar).
- Para
grande, pela aproximação da distribuição binomial pela normal (ou pelo Teorema do Limite Central aplicado a somas de Bernoulli), a proporção amostral é bem aproximada por uma normal com os mesmos média e variância:
- Regra prática para essa aproximação funcionar: verificar se
e são suficientemente grandes (por exemplo, ou ). Aqui
ambos muito grandes, portanto a aproximação normal é excelente.
Passo 6
Conclusão final (resumo conciso e utilidade prática).
- Exato: se
é o número de defeituosas,
- Aproximação prática útil para cálculos de intervalo de confiança ou testes:
com desvio padrão aproximado
.
Força aí — com esses números dá para calcular probabilidades ou construir intervalos de confiança rapidinho usando a normal.
Resposta
Aproximação normal válida:
(desvio padrão
).