(2,0 pts.) Uma população de fontes de energia para computadores pessoais tem uma voltagem de saída que é distribuída normalmente, com uma média de 5,00 \mathrm{~V} e um desvio-padrão de 0,10 \mathrm{~V}. Seleciona-se uma amostra aleatória de 8 fontes de energia. Especifique a distribuição amostral de \bar{X}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (tudo retirado do enunciado):
  • A voltagem de saída na população é distribuída normalmente.
  • A média populacional é \mu=5,00 V.
  • O desvio-padrão populacional é \sigma=0,10 V.
  • Seleciona-se uma amostra aleatória de tamanho n=8.
O que a questão pede:
  • Especificar a distribuição amostral de \bar{X} (a média amostral).

Passo 2

Conceito e fórmulas que vamos usar (explicadas passo a passo):
  • Quando a população é normal, a média amostral \bar{X} tem distribuição normal exata (não é aproximação). Ou seja, \bar{X} é uma variável aleatória normal.
  • O valor esperado (média) da média amostral é igual à média populacional:
\mathbb{E}(\bar{X})=\mu.
Aqui, \mathbb{E}(\bar{X}) significa “esperança” ou “média” de \bar{X}, e \mu é a média da população.
  • A variância da média amostral é a variância populacional dividida por n:
\operatorname{Var}(\bar{X})=\frac{\sigma^{2}}{n}.
Aqui, \operatorname{Var}(\bar{X}) é a variância de \bar{X}, \sigma^{2} é a variância populacional (ou seja, \sigma é o desvio-padrão da população) e n é o tamanho da amostra.
  • O desvio-padrão da média amostral (também chamado de erro-padrão) é
\sigma_{\bar{X}}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Isso diz na prática o quanto a média de uma amostra típica costuma variar ao redor da média verdadeira \mu.

Passo 3

Aplicando as fórmulas aos números do enunciado:
  • Já temos \mu=5,00 V e \sigma=0,10 V e n=8.
  • Calculamos o desvio-padrão da média amostral:
\sigma_{\bar{X}}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{0,10}{\sqrt{8}}.
  • Avaliando numericamente \sqrt{8} e a divisão:
\sqrt{8}\approx2,828427\quad\Rightarrow\quad \sigma_{\bar{X}}\approx\frac{0,10}{2,828427}\approx0,035355.
Arredondando adequadamente, \sigma_{\bar{X}}\approx0,03536 V.

Passo 4

Interpretação curta e incentivo:
  • Como a população é normal, concluímos que \bar{X} é exatamente normal com média \mu e variância \sigma^{2}/n.
  • Na prova, quando virem “especifique a distribuição amostral de \bar{X}”, o que se espera é uma notação do tipo “normal com média tal e variância/erro-padrão tal” — aqui usamos os números que calculamos.
  • Vai dar certo! Já tem a fórmula padrão na cabeça: média igual a \mu, erro-padrão igual a \sigma/\sqrt{n}. Respira, copia e manda ver.

Resposta

\bar{X}\sim N\!\left(5,00,\left(\dfrac{0,10}{\sqrt{8}}\right)^{2}\right)

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