(2,0 pts.) Suponha que têm-se 2 processos ( A e B ) para produzir um artigo, e que o tempo médio de produção para o processo A é de 300 horas e desvio-padrão é de 16 horas, enquanto que para o processo B , o tempo médio é de 306 horas e o desviopadrão é de 12 horas. Sorteia-se uma amostra aleatória de 64 artigos produzidos com processo A e 49 produzidos com o processo B. Especifique a distribuição amostral da diferença entre o tempo médio de produção da amostra do processo B e o tempo médio de produção da amostra do processo A .

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Informação sobre o processo A:
    • tempo médio: \mu_A=300 horas;
    • desvio-padrão populacional: \sigma_A=16 horas;
    • tamanho da amostra: n_A=64.
  • Informação sobre o processo B:
    • tempo médio: \mu_B=306 horas;
    • desvio-padrão populacional: \sigma_B=12 horas;
    • tamanho da amostra: n_B=49.
  • O que é pedido: especificar a distribuição amostral da diferença entre a média da amostra do processo B e a média da amostra do processo A, ou seja, da variável \bar{X}_B-\bar{X}_A.

Passo 2

Definir a variável de interesse e as propriedades básicas que vamos usar.
  • A variável de interesse é \bar{X}_B-\bar{X}_A, onde \bar{X}_B é a média amostral dos tempos do processo B e \bar{X}_A é a média amostral dos tempos do processo A.
  • Propriedades importantes (que vou explicar em palavras simples):
    • A esperança (média) de uma média amostral \bar{X} é a média populacional \mu: \mathbb{E}[\bar{X}]=\mu.
    • A variância de uma média amostral, quando se conhece o desvio-padrão populacional \sigma, é \operatorname{Var}(\bar{X})=\dfrac{\sigma^{2}}{n}.
    • Se duas amostras são independentes (assumimos independência entre os processos A e B), a variância da diferença é a soma das variâncias: \operatorname{Var}(\bar{X}_B-\bar{X}_A)=\operatorname{Var}(\bar{X}_B)+\operatorname{Var}(\bar{X}_A).
    • Quanto à forma da distribuição: como n_A=64 e n_B=49 são grandes (≥30), pelo Teorema Central do Limite a distribuição das médias amostrais é aproximadamente normal, mesmo que os tempos individuais não sejam estritamente normais. Se as populações originais já forem normais, a distribuição é exatamente normal.

Passo 3

Calcular a esperança (média) da diferença.
  • Pela propriedade \mathbb{E}[\bar{X}_B-\bar{X}_A]=\mathbb{E}[\bar{X}_B]-\mathbb{E}[\bar{X}_A]=\mu_B-\mu_A.
  • Substituindo os valores dados: \mathbb{E}[\bar{X}_B-\bar{X}_A]=\mu_B-\mu_A=306-300=6.
  • Interpretação: em média a amostra do processo B demora 6 horas a mais que a do processo A.

Passo 4

Calcular a variância da diferença usando as fórmulas de variância de médias amostrais e soma de variâncias.
  • Variância da média do processo B: \operatorname{Var}(\bar{X}_B)=\frac{\sigma_B^{2}}{n_B}=\frac{12^{2}}{49}=\frac{144}{49}.
  • Variância da média do processo A: \operatorname{Var}(\bar{X}_A)=\frac{\sigma_A^{2}}{n_A}=\frac{16^{2}}{64}=\frac{256}{64}=4.
  • Como as amostras são independentes: \operatorname{Var}(\bar{X}_B-\bar{X}_A)=\frac{144}{49}+4=\frac{144}{49}+\frac{196}{49}=\frac{340}{49}.

Passo 5

Calcular o desvio-padrão da diferença (raiz quadrada da variância) e dar uma forma exata e uma aproximação numérica.
  • Desvio-padrão: \sigma_{\bar{X}_B-\bar{X}_A}=\sqrt{\operatorname{Var}(\bar{X}_B-\bar{X}_A)}=\sqrt{\frac{340}{49}}=\frac{\sqrt{340}}{7}=\frac{2\sqrt{85}}{7}.
  • Aproximação numérica: \frac{2\sqrt{85}}{7}\approx 2{,}634.

Passo 6

Concluir a forma da distribuição amostral, justificando a normalidade.
  • Pela explicação do Passo 2 (Teorema Central do Limite e/ou normalidade das populações), \bar{X}_B e \bar{X}_A são aproximadamente normais; portanto a diferença \bar{X}_B-\bar{X}_A é aproximadamente normal com média e variância calculadas acima.
  • Assim a distribuição amostral é \bar{X}_B-\bar{X}_A \sim N\!\left(6,\frac{340}{49}\right),i.e., média 6 e variância \dfrac{340}{49} (desvio-padrão \dfrac{2\sqrt{85}}{7}\approx2{,}634).

Resposta

\bar{X}_B-\bar{X}_A \sim N\!\left(6,\frac{340}{49}\right)

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