(2,0 pts.) Suponha que têm-se 2 processos (
e
) para produzir um artigo, e que o tempo médio de produção para o processo A é de 300 horas e desvio-padrão é de 16 horas, enquanto que para o processo B , o tempo médio é de 306 horas e o desviopadrão é de 12 horas. Sorteia-se uma amostra aleatória de 64 artigos produzidos com processo A e 49 produzidos com o processo B. Especifique a distribuição amostral da diferença entre o tempo médio de produção da amostra do processo B e o tempo médio de produção da amostra do processo A .
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
-
Informação sobre o processo A:
- tempo médio:
horas; - desvio-padrão populacional:
horas; - tamanho da amostra:
.
- tempo médio:
-
Informação sobre o processo B:
- tempo médio:
horas; - desvio-padrão populacional:
horas; - tamanho da amostra:
.
- tempo médio:
-
O que é pedido: especificar a distribuição amostral da diferença entre a média da amostra do processo B e a média da amostra do processo A, ou seja, da variável
.
Passo 2
Definir a variável de interesse e as propriedades básicas que vamos usar.
- A variável de interesse é
, onde é a média amostral dos tempos do processo B e é a média amostral dos tempos do processo A. - Propriedades importantes (que vou explicar em palavras simples):
- A esperança (média) de uma média amostral
é a média populacional : . - A variância de uma média amostral, quando se conhece o desvio-padrão populacional
, é . - Se duas amostras são independentes (assumimos independência entre os processos A e B), a variância da diferença é a soma das variâncias:
. - Quanto à forma da distribuição: como
e são grandes (≥30), pelo Teorema Central do Limite a distribuição das médias amostrais é aproximadamente normal, mesmo que os tempos individuais não sejam estritamente normais. Se as populações originais já forem normais, a distribuição é exatamente normal.
- A esperança (média) de uma média amostral
Passo 3
Calcular a esperança (média) da diferença.
- Pela propriedade
. - Substituindo os valores dados:
- Interpretação: em média a amostra do processo B demora
horas a mais que a do processo A.
Passo 4
Calcular a variância da diferença usando as fórmulas de variância de médias amostrais e soma de variâncias.
- Variância da média do processo B:
- Variância da média do processo A:
- Como as amostras são independentes:
Passo 5
Calcular o desvio-padrão da diferença (raiz quadrada da variância) e dar uma forma exata e uma aproximação numérica.
- Desvio-padrão:
- Aproximação numérica:
Passo 6
Concluir a forma da distribuição amostral, justificando a normalidade.
- Pela explicação do Passo 2 (Teorema Central do Limite e/ou normalidade das populações),
e são aproximadamente normais; portanto a diferença é aproximadamente normal com média e variância calculadas acima. - Assim a distribuição amostral é
i.e., média e variância (desvio-padrão ).