(2,0 pts) Derive
f(x)=sec x1+x
Para quais valores de x o gráfico de f tem uma tangente horizontal?

Passo 1

Beleza, a questão pede para a gente derivar a função $ f(x) = \frac{\sec x}{1 + x} $ e descobrir para quais valores de $ x $ o gráfico dessa função tem uma tangente horizontal. Isso envolve conceitos de cálculo diferencial, especialmente a derivação de funções que são frações e a condição para tangentes horizontais (quando a derivada é igual a zero).

Passo 2

Primeiro, vamos derivar a função $ f(x) $. Como $ f(x) $ é uma fração, vamos usar a regra do quociente. A regra do quociente diz que se $ f(x) = \frac{g(x)}{h(x)} $, então a derivada $ f’(x) $ é:
f(x)
Aqui, temos:
  • $ g(x) = \sec x $
  • $ h(x) = 1 + x $

Passo 3

Vamos calcular $ g’(x) $ e $ h’(x) $.
Sabemos que a derivada de $ \sec x $ é $ \sec x \tan x $:
g'(x)
E a derivada de $ h(x) = 1 + x $ é simplesmente:
h'(x)

Passo 4

Agora, aplicando a regra do quociente:
f'(x) = sec x tan x (1 + x) - sec x cdot 1(1 + x)^2
Podemos fatorar $ \sec x $ no numerador:
sec x

Passo 5

Para encontrar onde a tangente é horizontal, precisamos resolver $ f’(x) = 0 $:
f'(x) = 0
Como $ \sec x $ e $ (1 + x)^2 $ nunca são zero (desde que $ \cos x \neq 0 $ e $ 1 + x \neq 0 $), a equação será igual a zero quando:
sec x [tan x (1 + x) - 1](1 + x)^2 = 0

Resposta

Os valores de $ x $ que satisfazem a equação $ \tan x (1 + x) = 1 $ são os pontos onde o gráfico de $ f(x) = \frac{\sec x}{1 + x} $ tem tangentes horizontais. Para encontrar esses valores, geralmente precisamos utilizar métodos numéricos, já que não há uma solução analítica simples para essa equação.

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