Derive
Para quais valores de
o gráfico de
tem uma tangente horizontal?
Passo 1
Beleza, a questão pede para a gente derivar a função $ f(x) = \frac{\sec x}{1 + x} $ e descobrir para quais valores de $ x $ o gráfico dessa função tem uma tangente horizontal. Isso envolve conceitos de cálculo diferencial, especialmente a derivação de funções que são frações e a condição para tangentes horizontais (quando a derivada é igual a zero).
Passo 2
Primeiro, vamos derivar a função $ f(x) $. Como $ f(x) $ é uma fração, vamos usar a regra do quociente. A regra do quociente diz que se $ f(x) = \frac{g(x)}{h(x)} $, então a derivada $ f’(x) $ é:
Aqui, temos:
- $ g(x) = \sec x $
- $ h(x) = 1 + x $
Passo 3
Vamos calcular $ g’(x) $ e $ h’(x) $.
Sabemos que a derivada de $ \sec x $ é $ \sec x \tan x $:
E a derivada de $ h(x) = 1 + x $ é simplesmente:
Passo 4
Agora, aplicando a regra do quociente:
Podemos fatorar $ \sec x $ no numerador:
Passo 5
Para encontrar onde a tangente é horizontal, precisamos resolver $ f’(x) = 0 $:
Como $ \sec x $ e $ (1 + x)^2 $ nunca são zero (desde que $ \cos x \neq 0 $ e $ 1 + x \neq 0 $), a equação será igual a zero quando:
Resposta
Os valores de $ x $ que satisfazem a equação $ \tan x (1 + x) = 1 $ são os pontos onde o gráfico de $ f(x) = \frac{\sec x}{1 + x} $ tem tangentes horizontais. Para encontrar esses valores, geralmente precisamos utilizar métodos numéricos, já que não há uma solução analítica simples para essa equação.