1. Um indivíduo é encontrado morto em seu escritório pela secretária que liga imediatamente para a polícia. Quando a polícia chega, 2 horas depois da chamada, examina o cadáver e o ambiente, tirando os seguintes dados: A temperatura do escritório era de 20^{\circ} \mathrm{C}, o cadáver inicialmente tinha uma temperatura de 35^{\circ} \mathrm{C}. Uma hora depois medindo novamente a temperatura do corpo obteve 34.2^{\circ} \mathrm{C}. O investigador, supondo que a temperatura de uma pessoa viva é de 36.5^{\circ} \mathrm{C}, prende a secretária. Por que? No dia seguinte o advogado da secretária a liberta, alegando o que?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
Dados do enunciado:
  • Temperatura do ambiente: 20^\circ\mathrm{C}.
  • Quando a polícia chega (2 horas depois da chamada), medem a temperatura do cadáver e ela é 35^\circ\mathrm{C} (chamo esse instante de tempo t=0).
  • Uma hora depois (ou seja, em t=1\\ \text{h}) a temperatura do corpo é 34{,}2^\circ\mathrm{C}.
  • O investigador supõe que a temperatura normal de uma pessoa viva é 36{,}5^\circ\mathrm{C}.
  • Sequência temporal: a secretária liga; 2 horas depois a polícia chega e faz as medidas.
O enunciado pede:
  1. Por que o investigador prendeu a secretária?
  2. Por que, no dia seguinte, o advogado a libertou — qual a alegação de defesa?

Passo 2

Modelo físico que vamos usar (explicação didática).
Quando um corpo morre, sua temperatura tende a igualar-se à temperatura do ambiente. Um modelo simples e muito usado é a Lei de Resfriamento de Newton, que diz que a velocidade de variação da temperatura do corpo é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura ambiente. Escrevendo isso:
\frac{dT}{dt} = -k\bigl(T(t)-T_s\bigr),
onde:
  • T(t) é a temperatura do corpo no tempo t,
  • T_s é a temperatura constante do ambiente ( 20^\circ\mathrm{C} aqui),
  • k>0 é uma constante que depende do corpo e do ambiente (isolamento, roupas, etc.),
  • t medido em horas.
Resolvendo essa equação diferencial (separando variáveis e integrando) obtemos a solução geral:
T(t) = T_s + \bigl(T(0)-T_s\bigr) e^{-k t},
onde T(0) é a temperatura medida no instante escolhido como t=0 (no nosso caso, a primeira medição da polícia, 35^\circ\mathrm{C}). Essa fórmula significa: a diferença entre a temperatura do corpo e a ambiente decai exponencialmente com taxa k.

Passo 3

Determinar a constante k a partir das duas medidas feitas a uma hora de diferença.
Usando a solução, para t=0 e t=1 temos:
T(0) = T_s + \bigl(T(0)-T_s\bigr)e^{-k\cdot 0} = T(0)\quad\text{(consistência)}ê
e
T(1) = T_s + \bigl(T(0)-T_s\bigr) e^{-k}.
Isolando e^{-k}:
e^{-k}=\frac{T(1)-T_s}{T(0)-T_s}.
Substituindo os números (peguei T_s=20, T(0)=35, T(1)=34{,}2 do enunciado):
e^{-k}=\frac{34{,}2-20}{35-20}=\frac{14{,}2}{15}=0{,}946666\ldots
Logo
k=-\ln\!\left(\frac{14{,}2}{15}\right)\approx 0{,}0550\\ \text{h}^{-1}.
Aqui expliquei passo a passo: primeiro escrevi a relação entre as diferenças de temperatura, depois calculei a razão e tirei o logaritmo para obter k.

Passo 4

Estimativa do tempo desde a morte até a primeira medição, assumindo que a pessoa estava viva com temperatura T_{\text{vivo}}=36{,}5^\circ\mathrm{C}.
Se chamarmos por t_d o tempo decorrido entre o óbito e a primeira medição (ou seja, óbito ocorreu em tempo -t_d relativo à medição em t=0), então, usando a fórmula com condição inicial na morte ( T(-t_d)=T_{\text{vivo}}) e evoluindo até t=0,
T(0)=T_s + \bigl(T_{\text{vivo}}-T_s\bigr)e^{-k t_d}.
Isolando t_d:
e^{-k t_d}=\frac{T(0)-T_s}{T_{\text{vivo}}-T_s} \quad\Rightarrow\quad t_d=-\frac{1}{k}\ln\!\left(\frac{T(0)-T_s}{T_{\text{vivo}}-T_s}\right).
Agora substituindo os valores ( T(0)-T_s=15, T_{\text{vivo}}-T_s=16{,}5, k\approx0{,}0550):
t_d=-\frac{1}{0{,}0550}\ln\!\left(\frac{15}{16{,}5}\right) =-\frac{1}{0{,}0550}\ln(0{,}909090\ldots) \approx \frac{0{,}09531}{0{,}0550}\approx 1{,}73\\ \text{h}.
Convertendo, 1{,}73\\ \text{h} é aproximadamente 1 hora e 44 minutos.
Interpretação temporal: a polícia chegou 2 horas depois da chamada da secretária. Se a morte ocorreu 1{,}73\\ \text{h} antes da primeira medição (chegada), isso significa que a morte aconteceu 2{,}00-1{,}73=0{,}27\\ \text{h} após a chamada — isto é, cerca de 0{,}27\times60\approx 16 minutos depois da ligação. Em palavras: de acordo com essa estimativa (e com a hipótese de 36{,}5^\circ\mathrm{C} como temperatura viva), o cadáver ainda estava vivo no momento em que a secretária alegou ter encontrado o corpo morto e ligado — logo, ela teria mentido, o que fez o investigador suspeitar de ela ter cometido o crime. Por isso a prendeu.

Passo 5

Como a defesa conseguiu libertá‑la: análise da sensibilidade à hipótese sobre a temperatura “viva”.
A questão decisiva é a hipótese que o investigador usou: T_{\text{vivo}}=36{,}5^\circ\mathrm{C}. Se essa hipótese for ligeiramente diferente, o instante estimado da morte muda. Vamos calcular qual valor mínimo de T_{\text{vivo}} faria com que o óbito tivesse ocorrido no instante da chamada (ou antes), ou seja, tornaria possível que a secretária realmente tenha encontrado o corpo morto antes de ligar.
Queremos t_d \ge 2\\ \text{h}. Partindo da fórmula
e^{-k t_d}=\frac{T(0)-T_s}{T_{\text{vivo}}-T_s},
se colocarmos t_d=2 obtemos
\frac{T(0)-T_s}{T_{\text{vivo}}-T_s}=e^{-2k} \quad\Rightarrow\quad T_{\text{vivo}}=T_s + (T(0)-T_s)e^{2k}.
Com k\approx 0{,}0550,
e^{2k}=e^{0{,}1100}\approx 1{,}11635,
T_{\text{vivo}}=20 + 15\cdot 1{,}11635 \approx 20 + 16{,}745 \approx 36{,}745^\circ\mathrm{C}.
Ou seja, se a temperatura “viva” do morto tivesse sido \gtrsim 36{,}745^\circ\mathrm{C}, então o cálculo permitiria que a morte tivesse ocorrido antes (ou exatamente no momento) da chamada da secretária — portanto a secretária não teria mentido nem necessariamente cometido o crime.
A defesa argumentou exatamente isso: a temperatura normal de uma pessoa varia (muitos adultos têm temperatura próxima de 37{,}0^\circ\mathrm{C}, febre aumenta ainda mais, e há variações individuais e erros de medida). Como já basta uma diferença pequena (de 36{,}5^\circ\mathrm{C} para cerca de 36{,}745^\circ\mathrm{C}) para inverter a conclusão temporal, há dúvida razoável sobre o instante da morte. Além disso, na prática há incertezas (medidas, isolamento térmico do corpo, correntes de ar, roupa), que também enfraquecem a certeza do investigador. Por isso o advogado conseguiu obter a libertação por falta de prova conclusiva.

Passo 6

Resumo numérico e lógico (para decorar na prova):
  • A partir de T(0)=35^\circ\mathrm{C}, T(1)=34{,}2^\circ\mathrm{C} e T_s=20^\circ\mathrm{C} obtém‑se k\approx 0{,}0550\\ \text{h}^{-1}.
  • Assumindo T_{\text{vivo}}=36{,}5^\circ\mathrm{C} obteve‑se tempo desde a morte até a medição t_d\approx 1{,}73\\ \text{h}, ou seja, morte ocorrida cerca de 16 minutos depois da chamada → motivo da prisão.
  • Contudo, se T_{\text{vivo}}\gtrsim 36{,}745^\circ\mathrm{C} a morte poderia ter ocorrido antes da chamada → argumento da defesa e libertação.

Resposta

O investigador prendeu a secretária porque, assumindo temperatura “viva” 36{,}5^\circ\mathrm{C} e aplicando a Lei de Resfriamento de Newton aos dados ( 35^\circ\mathrm{C} e 34{,}2^\circ\mathrm{C} a 1 h de intervalo), calcula‑se que a morte ocorreu \approx 1{,}73\\ \text{h} antes da primeira medição — isto é, cerca de 0{,}27\\ \text{h} (≈16 minutos) depois da chamada da secretária, implicando que ela teria ligado antes de o corpo estar morto (suspeita de mentira/culpa).
O advogado alegou que a hipótese usada pelo investigador ( T_{\text{vivo}}=36{,}5^\circ\mathrm{C}) não é segura: uma pequena variação (se T_{\text{vivo}}\gtrsim 36{,}745^\circ\mathrm{C}) faz a morte ser compatível com um instante anterior à chamada; portanto há dúvida razoável (variações normais de temperatura, possíveis erros de medida e outras incertezas), o que levou à libertação.

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