( 0,5 pts ) Em engenharia elétrica/eletrônica alguns sistemas lineares podem ser caracterizados usando equações diferenciais. Seja um sistema linear definido pela equação diferencial com condições iniciais nulas dado por:
3 d y(t)d t+2 y(t)=2 x(t)
em que x(t) representa a entrada do sistema e y(t) sua respectiva saída; ambas em função do tempo e definidas apenas para t >= 0.
Para x(t)=de, determine: A saída Y(s) do sistema e sua respectiva região de convergência.

Passo 1

Estamos com um sistema LTI de primeira ordem descrito pela EDO 3 dy(t)dt+2 y(t)=2 x(t), condições iniciais nulas, e queremos a saída no domínio de Laplace Y(s) e sua ROC para a entrada impulso x(t)=de. Precisamos usar as propriedades da transformada de Laplace, especialmente da derivada e do impulso.

Passo 2

A transformada de Laplace da derivada é dada por Ly'(t)=sY(s)-y(0^-). Como as condições iniciais são nulas, y(0^-)=0. Além disso, Lde, logo X(s)=1.

Passo 3

Aplicando L em cada termo da EDO temos:
3l[sY(s)-0r]+2Y(s)=2cdot1

Passo 4

Agrupando Y(s) e resolvendo:
Y(s),(3s+2)=2
Y(s)=23s+2=2/3s+2/3

Passo 5

Como o sistema é causal (resposta nula para tempo negativo) e o polo está em s=-2/3, a região de convergência é a parte real de s maior que -2/3: Re(s)>-2/3.

Resposta

Y(s)=\frac{2}{3s+2}, ROC: \Re(s)>-\tfrac{2}{3}

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