( 0,5 pts ) Em engenharia elétrica/eletrônica alguns sistemas lineares podem ser caracterizados usando equações diferenciais. Seja um sistema linear definido pela equação diferencial com condições iniciais nulas dado por:
em que
representa a entrada do sistema e
sua respectiva saída; ambas em função do tempo e definidas apenas para
.
Para
, determine: A saída
do sistema e sua respectiva região de convergência.
Para
Passo 1
Estamos com um sistema LTI de primeira ordem descrito pela EDO 3
+2
=2
, condições iniciais nulas, e queremos a saída no domínio de Laplace
e sua ROC para a entrada impulso
. Precisamos usar as propriedades da transformada de Laplace, especialmente da derivada e do impulso.
Passo 2
A transformada de Laplace da derivada é dada por
. Como as condições iniciais são nulas,
. Além disso,
, logo
.
Passo 3
Aplicando
em cada termo da EDO temos:
Passo 4
Agrupando
e resolvendo:
Passo 5
Como o sistema é causal (resposta nula para tempo negativo) e o polo está em
, a região de convergência é a parte real de
maior que
:
.
Resposta
Y(s)=\frac{2}{3s+2}, ROC: \Re(s)>-\tfrac{2}{3}