( 0,5 pts ) Em engenharia elétrica/eletrônica alguns sistemas lineares podem ser caracterizados usando equações diferenciais. Seja um sistema linear definido pela equação diferencial com condições iniciais nulas dado por:
3 d y(t)d t+2 y(t)=2 x(t)
em que x(t) representa a entrada do sistema e y(t) sua respectiva saída; ambas em função do tempo e definidas apenas para t >= 0.
Para x(t)=de, determine: A resposta à entrada nula (domínio s ) do sistema.

Passo 1

O enunciado dá uma equação diferencial de primeira ordem com condições iniciais nulas: 3, dy(t)dt+2, y(t)=2, x(t), e pede a resposta ao impulso (domínio s), ou seja, vamos encontrar Y(s) para x(t)=de. O conteúdo é o uso da transformada de Laplace em sistemas lineares.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Usando Ldy/dt=s,Y(s)-y(0) e Ly(t)=Y(s), obtemos: 3\bigl(s,Y(s)-y(0)\bigr)+2,Y(s)=2,X(s).

Passo 3

Como as condições iniciais são nulas, y(0)=0. Então a equação fica: 3,s,Y(s)+2,Y(s)=2,X(s).

Passo 4

Para entrada impulso x(t)=de, temos X(s)=1. Portanto, isolando Y(s):

Resposta

Y(s)=23s+2

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