1) (2,0 pts)

Um tubo de aço ( \mathbf{k}=\mathbf{5 0 ~ k c a l} / \mathbf{h} \cdot \mathbf{m} \cdot{ }^{\circ} \mathbf{C} ) tem diâmetro externo de \mathbf{3 0 0 ~ m m}, espessura de \mathbf{1 0 ~ m m}, \mathbf{1 , 5 0 ~ m} de comprimento e transporta amônia a-10 { }^{\circ} \mathrm{C} (convecção desprezível). Para isolamento do tubo existem duas opções:
  • isolamento de espuma de borracha ( \mathbf{k}=\mathbf{0 , 2 3} \mathrm{kcal} / \mathrm{h} \cdot \mathrm{m} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C} ) de 600 mm de espessura
  • isolante de isopor ( \mathrm{k}=0,34 \mathrm{kcal} / \mathrm{h} \cdot \mathrm{m} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C} ) de 400 mm de espessura
Por razões de ordem técnica o máximo fluxo de calor não deve ultrapassar \mathbf{8 0 0 0 ~ k c a l} \boldsymbol{/} \mathbf{h}.
Sabendo-se que a temperatura na face externa do isolamento é 5^{\circ} \mathrm{C}, pede-se:
a)
As resistências térmicas dos isolantes;
b)
Calcule o fluxo de calor para cada opção e responda qual isolamento deve ser usado.

Passo 1

Listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados geométricos e térmicos (peguei estes números do enunciado):
    • Diâmetro externo do tubo de aço: D_{ext,\text{aço}}=300\\ \text{mm}=\;0,30\\ \text{m}ç.
    • Espessura do tubo de aço: t_{\text{aço}}=10\\ \text{mm}=\;0,01\\ \text{m}ç.
    • Comprimento do tubo: L=1,50\\ \text{m}.
    • Temperatura do fluido (amônia): T_i=-10^\circ\text{C}.
    • Temperatura na face externa do isolamento: T_o=5^\circ\text{C}.
    • Condutividade térmica do aço: k_{\text{aço}}=50\\ \mathrm{kcal}/\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}\cdot^\circ\mathrm{C}ç.
    • Opção 1 — espuma de borracha: k_1=0,23\\ \mathrm{kcal}/\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}\cdot^\circ\mathrm{C}, espessura s_1=600\\ \text{mm}=0,60\\ \text{m}.
    • Opção 2 — isopor: k_2=0,34\\ \mathrm{kcal}/\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}\cdot^\circ\mathrm{C}, espessura s_2=400\\ \text{mm}=0,40\\ \text{m}.
    • Limite máximo de fluxo de calor admissível: Q_{\max}=8000\\ \mathrm{kcal}/\mathrm{h}.
  • Geometria radial (vou trabalhar em termos de raios):
    • Raio externo do aço: r_{2}=D_{ext,\text{aço}}/2=0,30/2=0,15\\ \text{m}ç.
    • Raio interno do aço: r_{1}=r_{2}-t_{\text{aço}}=0,15-0,01=0,14\\ \text{m}ç.
    • Raio externo do isolamento (cada opção):
      • espuma: r_{3,1}=r_{2}+s_1=0,15+0,60=0,75\\ \text{m}.
      • isopor: r_{3,2}=r_{2}+s_2=0,15+0,40=0,55\\ \text{m}.
  • O enunciado pede:
    a) as resistências térmicas dos isolantes (isto é, a resistência de condução radial do isolamento para cada opção);
    b) calcular o fluxo de calor para cada opção e decidir qual isolamento deve ser usado, tendo em vista o limite máximo.

Passo 2

Modelo físico e fórmula que usarei (explicação didática).
  • Aqui o calor flui radialmente do interior (amônia a T_i) para a face externa do isolamento a T_o. O caminho térmico é:
    1. parede de aço (condutiva radialmente),
    2. camada de isolamento (condutiva radialmente).
  • O enunciado diz que a convecção é desprezível no interior; isso significa que a resistência convectiva entre fluido e parede interna é desprezível, portanto a temperatura do fluido e da superfície interna do aço podem ser tomadas praticamente iguais ( T_i). Assim a queda de temperatura principal está na parede de aço e no isolamento; a maior parte ocorrerá no isolamento.
  • Para condução radial em cascas cilíndricas homogêneas a resistência térmica de condução é dada por:
R_{\text{cond}}=\frac{1}{2\pi k L}\ln\!\left(\frac{r_{out}}{r_{in}}\right).
Onde:
  • R_{\text{cond}} tem unidades \text{h}\cdot{}^\circ\text{C}/\text{kcal},
  • k é a condutividade térmica do material em \mathrm{kcal}/\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}\cdot{}^\circ\text{C},
  • L é o comprimento do cilindro em \mathrm{m},
  • r_{in} e r_{out} são raios interno e externo da casca em \mathrm{m}.
  • A resistência total entre o fluido e a face externa é a soma das resistências em série:
R_{\text{tot}}=R_{\text{aço}}+R_{\text{isolante}}.ç
  • O fluxo de calor (taxa de calor) é então:
Q=\frac{T_i-T_o}{R_{\text{tot}}}.
Sinal: Q>0 indica calor saindo do fluido para o exterior (aqui T_i<T_o não — mas estamos com T_i=-10^\circ\text{C} e T_o=5^\circ\text{C}; portanto T_i-T_o=-15^\circ\text{C} e o fluxo terá sinal negativo se tomado nessa ordem; vou usar a magnitude |Q|=\dfrac{|T_i-T_o|}{R_{\text{tot}}} para comparar com o limite).

Passo 3

Calcular a resistência da parede de aço (para usar depois). Vou mostrar isso para completar o circuito térmico; é pequena mas precisa ser somada.
Usando a fórmula com r_{in}=0,14\\ \text{m} e r_{out}=0,15\\ \text{m}, k_{\text{aço}}=50ç e L=1,50:
R_{\text{aço}}=\frac{1}{2\pi k_{\text{aço}} L}\ln\!\left(\frac{0,15}{0,14}\right).çç
Calculemos passo a passo:
  • \ln\!\left(\dfrac{0,15}{0,14}\right)=\ln(1,07142857)\approx 0,0693147.
  • Denominador: 2\pi k_{\text{aço}} L = 2\pi\cdot50\cdot1,50 =150\pi\approx471,2389.ç
  • Logo
R_{\text{aço}}\approx\frac{0,0693147}{471,2389}\approx 0,000147\\ \text{h}\cdot{}^\circ\text{C}/\text{kcal}.ç
Observação didática: esta resistência é muito pequena comparada à do isolamento (isso é típico porque o aço conduz bem).

Passo 4

Calcular a resistência térmica do isolamento — Opção 1: espuma de borracha ( k_1=0,23, r_{in}=0,15\\ \text{m}, r_{out}=0,75\\ \text{m}).
Aplicando a fórmula:
R_{isol,1}=\frac{1}{2\pi k_1 L}\ln\!\left(\frac{r_{3,1}}{r_{2}}\right) =\frac{1}{2\pi\cdot0,23\cdot1,50}\ln\!\left(\frac{0,75}{0,15}\right).
Passos numéricos:
  • \ln\!\left(\dfrac{0,75}{0,15}\right)=\ln(5)\approx1,6094379.
  • Denominador: 2\pi\cdot0,23\cdot1,5 = 2\pi\cdot0,345 \approx 2,167699.
  • Portanto
R_{isol,1}\approx\frac{1,6094379}{2,167699}\approx 0,74266\\ \text{h}\cdot{}^\circ\text{C}/\text{kcal}.

Passo 5

Calcular a resistência térmica do isolamento — Opção 2: isopor ( k_2=0,34, r_{in}=0,15\\ \text{m}, r_{out}=0,55\\ \text{m}).
Aplicando a fórmula:
R_{isol,2}=\frac{1}{2\pi k_2 L}\ln\!\left(\frac{r_{3,2}}{r_{2}}\right) =\frac{1}{2\pi\cdot0,34\cdot1,50}\ln\!\left(\frac{0,55}{0,15}\right).
Passos numéricos:
  • \ln\!\left(\dfrac{0,55}{0,15}\right)=\ln(3,6666667)\approx1,29928298.
  • Denominador: 2\pi\cdot0,34\cdot1,5 = 2\pi\cdot0,51 \approx 3,203427.
  • Portanto
R_{isol,2}\approx\frac{1,29928298}{3,203427}\approx 0,40564\\ \text{h}\cdot{}^\circ\text{C}/\text{kcal}.

Passo 6

Calcular as resistências totais e os fluxos de calor para cada opção.
  • Primeiro calcule a diferença de temperatura (magnitudes):
\Delta T = |T_i-T_o| = |-10^\circ\text{C}-5^\circ\text{C}|=15^\circ\text{C}.
  • Opção 1 (espuma):
    • R_{\text{tot},1}=R_{\text{aço}}+R_{isol,1}\approx 0,000147+0,74266\approx 0,74281\\ \text{h}\cdot{}^\circ\text{C}/\text{kcal}.ç
    • Fluxo (magnitude):
    |Q_1|=\frac{\Delta T}{R_{\text{tot},1}}\approx\frac{15}{0,74281}\approx 20,19\\ \text{kcal}/\text{h}.
  • Opção 2 (isopor):
    • R_{\text{tot},2}=R_{\text{aço}}+R_{isol,2}\approx 0,000147+0,40564\approx 0,40579\\ \text{h}\cdot{}^\circ\text{C}/\text{kcal}.ç
    • Fluxo (magnitude):
    |Q_2|=\frac{\Delta T}{R_{\text{tot},2}}\approx\frac{15}{0,40579}\approx 36,97\\ \text{kcal}/\text{h}.

Passo 7

Interpretação e decisão (motivação prática, sem entrar em dados de custo que não foram fornecidos).
  • Comparando com o limite Q_{\max}=8000\\ \text{kcal}/\text{h}:
    • 20,19\\ \text{kcal}/\text{h}\ll8000\\ \text{kcal}/\text{h}.
    • 36,97\\ \text{kcal}/\text{h}\ll8000\\ \text{kcal}/\text{h}.
  • Conclusão: ambas as opções atendem a restrição de máximo fluxo térmico. Se a única restrição for não ultrapassar 8000\\ \text{kcal}/\text{h}, qualquer uma das duas serve. Tipicamente, entre duas opções que atendem ao requisito, escolhe-se a de menor espessura ou menor custo prático (aqui o isopor tem menor espessura e ainda deixa um fluxo pequeno), portanto, por critério prático, recomenda-se usar o isolante de isopor, salvo outras restrições técnicas (resistência mecânica, exposição, inflamabilidade etc.) que não foram fornecidas.

Resposta

a) R_{\text{isol, espuma}}=0,74266\\ \text{h}\cdot{}^\circ\text{C}/\text{kcal}; R_{\text{isol, isopor}}=0,40564\\ \text{h}\cdot{}^\circ\text{C}/\text{kcal}.
b) |Q_{\text{espuma}}|=20,19\\ \text{kcal}/\text{h}; |Q_{\text{isopor}}|=36,97\\ \text{kcal}/\text{h}. Ambas as opções satisfazem o limite de 8000\\ \text{kcal}/\text{h}; recomenda-se o isolante de isopor por menor espessura prática.

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