2 pts. Num estado de cisalhamento puro (como numa barra em torção), se a tensão de cisalhamento é
quais são as tensões principais
?
a)
e
b)
e
c)
e
d)
e
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado dá um estado de cisalhamento puro com tensão de cisalhamento
e pede as tensões principais
e
.
Informações relevantes fornecidas:
- Há apenas tensão de cisalhamento não nula:
. - As tensões normais nas direções
e são nulas (situação típica de cisalhamento puro): e . - Pergunta: quais são as tensões principais
e neste estado?
Passo 2
Representando o tensor tensão (plano) na base
, escrevemos a matriz 2×2 das tensões como
Substituindo
,
e
, obtemos
Aqui cada entrada tem significado físico: as diagonais são tensões normais nas direções
e
e as entradas fora da diagonal são tensões de cisalhamento.]
Passo 3
Definição prática de tensões principais: são os autovalores (eigenvalues) da matriz
, isto é, os
que satisfazem
Escrevendo a matriz
e calculando o determinante:
A equação característica é
Resolvendo:
Portanto os autovalores (as tensões principais) são
e
.]
Passo 4
Explicação alternativa (fórmula direta usada em provas): para estado plano vale a fórmula
onde
,
são as tensões normais nas direções
e
é a tensão de cisalhamento. Substituindo
,
,
,
chegando à mesma conclusão.
Passo 5
Interpretação física e orientação das direções principais (útil na prova): as tensões principais têm sinais opostos,
e
. As direções principais estão inclinadas
em relação aos eixos originais, pois a fórmula do ângulo principal satisfaz
logo
e
. Em palavras: o cisalhamento puro pode ser visto como um par de tensões normais iguais em magnitude e de sinais contrários, atuando em planos que fazem
com os eixos iniciais — isso é uma forma física muito útil de visualizar cisalhamento.
Passo 6
Conclusão final: as tensões principais são
e
. Entre as alternativas dadas, corresponde à alternativa d).
Resposta
d)
e