2 pts. Num estado de cisalhamento puro (como numa barra em torção), se a tensão de cisalhamento é \tau quais são as tensões principais \sigma_{1} e \sigma_{2} ?
a) \sigma_{1}=2 \tau e \sigma_{2}=0
b) \sigma_{1}=\tau e \sigma_{2}=\tau
c) \sigma_{1}=\tau e \sigma_{2}=0
d) \sigma_{1}=\tau e \sigma_{2}=-\tau

Passo 1

O enunciado dá um estado de cisalhamento puro com tensão de cisalhamento \tau e pede as tensões principais \sigma_{1} e \sigma_{2}.
Informações relevantes fornecidas:
  • Há apenas tensão de cisalhamento não nula: \tau_{xy}=\tau.
  • As tensões normais nas direções x e y são nulas (situação típica de cisalhamento puro): \sigma_x=0 e \sigma_y=0.
  • Pergunta: quais são as tensões principais \sigma_{1} e \sigma_{2} neste estado?

Passo 2

Representando o tensor tensão (plano) na base (x,y), escrevemos a matriz 2×2 das tensões como
\boldsymbol{\sigma}=\begin{pmatrix}\sigma_x & \tau_{xy} \\[4pt] \tau_{xy} & \sigma_y \end{pmatrix}.
Substituindo \sigma_x=0, \sigma_y=0 e \tau_{xy}=\tau, obtemos
\boldsymbol{\sigma}=\begin{pmatrix}0 & \tau \\[4pt] \tau & 0 \end{pmatrix}.
Aqui cada entrada tem significado físico: as diagonais são tensões normais nas direções x e y e as entradas fora da diagonal são tensões de cisalhamento.]

Passo 3

Definição prática de tensões principais: são os autovalores (eigenvalues) da matriz \boldsymbol{\sigma}, isto é, os \lambda que satisfazem
\det\big(\boldsymbol{\sigma}-\lambda\mathbf{I}\big)=0.
Escrevendo a matriz \boldsymbol{\sigma}-\lambda\mathbf{I} e calculando o determinante:
\boldsymbol{\sigma}-\lambda\mathbf{I}=\begin{pmatrix}-\lambda & \tau \\[4pt] \tau & -\lambda \end{pmatrix},
\det\begin{pmatrix}-\lambda & \tau \\[4pt] \tau & -\lambda \end{pmatrix}=(-\lambda)(-\lambda)-\tau^2=\lambda^2-\tau^2.
A equação característica é
\lambda^2-\tau^2=0.
Resolvendo:
\lambda^2=\tau^2\quad\Rightarrow\quad \lambda=\pm\tau.
Portanto os autovalores (as tensões principais) são +\tau e -\tau.]

Passo 4

Explicação alternativa (fórmula direta usada em provas): para estado plano vale a fórmula
\sigma_{1,2}=\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2},
onde \sigma_x, \sigma_y são as tensões normais nas direções x,y e \tau_{xy} é a tensão de cisalhamento. Substituindo \sigma_x=0, \sigma_y=0, \tau_{xy}=\tau,
\sigma_{1,2}=0\pm\sqrt{0+\tau^2}=\pm\tau,
chegando à mesma conclusão.

Passo 5

Interpretação física e orientação das direções principais (útil na prova): as tensões principais têm sinais opostos, \sigma_{1}=+\tau e \sigma_{2}=-\tau. As direções principais estão inclinadas 45^\circ em relação aos eixos originais, pois a fórmula do ângulo principal satisfaz
\tan 2\theta_p=\frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x-\sigma_y}=\frac{2\tau}{0}= \text{infinito},
logo 2\theta_p=90^\circ e \theta_p=45^\circ. Em palavras: o cisalhamento puro pode ser visto como um par de tensões normais iguais em magnitude e de sinais contrários, atuando em planos que fazem 45^\circ com os eixos iniciais — isso é uma forma física muito útil de visualizar cisalhamento.

Passo 6

Conclusão final: as tensões principais são \sigma_{1}=\tau e \sigma_{2}=-\tau. Entre as alternativas dadas, corresponde à alternativa d).

Resposta

d) \sigma_{1}=\tau e \sigma_{2}=-\tau

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