Um sistema vibratório deve ser isolado de sua base de suporte. Determine o fator de amortecimento necessário para o isolador, de modo a limitar a transmissibilidade em ressonância a T_{r}=4. Considere que o sistema tenha um grau de liberdade.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o fator de amortecimento do isolador (ou seja, o coeficiente de amortecimento adimensional \zeta) de um sistema com um grau de liberdade, de modo que a transmissibilidade em ressonância seja T_{r}=4.
Informações fornecidas:
  • Transmissibilidade em ressonância: T_{r}=4.
  • Sistema: um grau de liberdade, isolador entre massa e base (excitação por movimento da base).
  • Objetivo: encontrar o valor de \zeta que garante T_{r}=4.

Passo 2

Modelagem física e equação de movimento (noção básica):
  • Seja m a massa, c o amortecedor, k a rigidez, y(t) o deslocamento da base e x(t) o deslocamento absoluto da massa.
  • Definindo o deslocamento relativo u(t)=x(t)-y(t), a equação de movimento relativa fica
m\,u''(t)+c\,u'(t)+k\,u(t) = -m\,y''(t).
Explicação rápida: o termo à direita é a força inercial resultante da aceleração da base; resolvemos essa equação para resposta em regime permanente quando a base vibra harmonicamente.

Passo 3

Assumir excitação harmônica e obter a amplitude relativa:
  • Considere y(t)=Y e^{i\omega t}. Então y''(t)=-\omega^{2}Y e^{i\omega t}.
  • Procuramos solução de regime u(t)=U e^{i\omega t}. Substituindo na equação:
\bigl(-m\omega^{2}+i c\omega + k\bigr)U = m\omega^{2}Y.
  • A amplitude complexa U tem magnitude
U = \frac{m\omega^{2}Y}{\sqrt{(k-m\omega^{2})^{2} + (c\omega)^{2}}}.
Aqui: \omega é frequência de excitação, \omega_{n}=\sqrt{k/m} é a frequência natural e \zeta=\dfrac{c}{2m\omega_{n}} é o fator de amortecimento adimensional.

Passo 4

Normalizar usando razão de freqüências r=\dfrac{\omega}{\omega_{n}} e simplificar:
  • Substituindo k=m\omega_{n}^{2} e c=2m\omega_{n}\zeta em U:
U = \frac{m\omega^{2}Y}{k\sqrt{(1-r^{2})^{2} + (2\zeta r)^{2}}} = \frac{r^{2}Y}{\sqrt{(1-r^{2})^{2} + (2\zeta r)^{2}}}.
  • O deslocamento absoluto da massa é x(t)=u(t)+y(t). Em amplitude:
\frac{X}{Y} = 1 + \frac{U}{Y} = 1 + \frac{r^{2}}{\sqrt{(1-r^{2})^{2} + (2\zeta r)^{2}}}.
Esta razão \dfrac{X}{Y} é a transmissibilidade entre o deslocamento da massa e o deslocamento da base para excitação por movimento de base.

Passo 5

Avaliar a transmissibilidade em ressonância ( r=1):
  • Colocar r=1 na expressão:
\frac{X}{Y}\Bigg|_{r=1} = 1 + \frac{1^{2}}{\sqrt{(1-1)^{2} + (2\zeta\cdot1)^{2}}} = 1 + \frac{1}{2\zeta}.
Portanto, a transmissibilidade em ressonância vale
T_{r} = 1 + \frac{1}{2\zeta}.
Comentário didático: em ressonância a componente relativa domina e aparece o termo 1/(2\zeta); quanto menor \zeta, maior a amplificação.

Passo 6

Determinar \zeta a partir de T_{r}=4:
  • Igualando:
1 + \frac{1}{2\zeta} = 4.
  • Resolvendo para \zeta:
\frac{1}{2\zeta} = 3 \quad\Rightarrow\quad \zeta = \frac{1}{6}.
Valor numérico: \zeta \approx 0{,}1667, ou 16{,}67\%.

Passo 7

Interpretação e dica prática:
  • Para limitar a transmissibilidade em ressonância a 4 é necessário um amortecimento relativamente moderado, \zeta=1/6.
  • Se na prova pedirem a fórmula, memorize que para excitação por base em r=1 vale T_{r}=1+\dfrac{1}{2\zeta} e daí isolar \zeta.

Resposta

\zeta = \dfrac{1}{6} \approx 0{,}1667

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