Um sistema vibratório deve ser isolado de sua base de suporte. Determine o fator de amortecimento necessário para o isolador, de modo a limitar a transmissibilidade em ressonância a T_{r}=4. Considere que o sistema tenha um grau de liberdade.
Passo 1
O enunciado pede para determinar o fator de amortecimento do isolador (ou seja, o coeficiente de amortecimento adimensional \zeta) de um sistema com um grau de liberdade, de modo que a transmissibilidade em ressonância seja T_{r}=4.
Informações fornecidas:
Transmissibilidade em ressonância: T_{r}=4.
Sistema: um grau de liberdade, isolador entre massa e base (excitação por movimento da base).
Objetivo: encontrar o valor de \zeta que garante T_{r}=4.
Passo 2
Modelagem física e equação de movimento (noção básica):
Seja m a massa, c o amortecedor, k a rigidez, y(t) o deslocamento da base e x(t) o deslocamento absoluto da massa.
Definindo o deslocamento relativo u(t)=x(t)-y(t), a equação de movimento relativa fica
m\,u''(t)+c\,u'(t)+k\,u(t) = -m\,y''(t).
Explicação rápida: o termo à direita é a força inercial resultante da aceleração da base; resolvemos essa equação para resposta em regime permanente quando a base vibra harmonicamente.
Passo 3
Assumir excitação harmônica e obter a amplitude relativa:
Considere y(t)=Y e^{i\omega t}. Então y''(t)=-\omega^{2}Y e^{i\omega t}.
Procuramos solução de regime u(t)=U e^{i\omega t}. Substituindo na equação:
U = \frac{m\omega^{2}Y}{\sqrt{(k-m\omega^{2})^{2} + (c\omega)^{2}}}.
Aqui: \omega é frequência de excitação, \omega_{n}=\sqrt{k/m} é a frequência natural e \zeta=\dfrac{c}{2m\omega_{n}} é o fator de amortecimento adimensional.
Passo 4
Normalizar usando razão de freqüências r=\dfrac{\omega}{\omega_{n}} e simplificar:
Substituindo k=m\omega_{n}^{2} e c=2m\omega_{n}\zeta em U: