Um exaustor que gira a 1.000 rpm deve ser suportado por quatro molas, cada qual com rigidez K. Se somente 10 \% da força desbalanceadora do exaustor deve ser transmitida à base, qual seria o valor de K ? Considere que a massa do exaustor seja 40 kg .

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar o valor da rigidez K de cada mola (há quatro molas idênticas) de modo que somente 10\% da força desbalanceadora seja transmitida à base.
Informações fornecidas:
  • Massa do exaustor: m=40\\ \mathrm{kg}.
  • Velocidade de rotação: 1000\\ \mathrm{rpm}.
  • Número de molas: 4, cada uma com rigidez K. As quatro agem em paralelo, então a rigidez equivalente ao sistema é K_{\text{eq}}=4K.
  • Fração da força desbalanceadora transmitida à base desejada: 10\% (ou 0{,}1 em razão).
Observação: o enunciado não fornece o desbalanceamento geométrico (excentricidade), mas isso não é necessário porque a razão transmitida à base em regime harmônico independe da amplitude absoluta da força aplicada — ela depende apenas da relação entre m, \omega e a rigidez equivalente.

Passo 2

Modelagem física e equação básica (intuição e fórmulas que vamos usar).
  • O desbalanceamento rotativo gera uma força harmônica aplicada ao centro de massa do exaustor com frequência \omega (rad/s). A amplitude dessa força pode ser escrita como F_0 (proporcional a m e \omega^2), mas o valor absoluto de F_0 não é necessário para a razão transmitida.
  • Modelo simplificado: massa m ligada à base por uma rigidez total K_{\text{eq}} (sistema massa-mola sem amortecimento, para simplificar).
  • Em regime forçado (excitação harmônica de frequência \omega) a amplitude da deflexão da massa é, sem amortecimento:
X=\frac{F_0}{\left|K_{\text{eq}}-m\omega^2\right|}.
Explicação: para uma força harmônica F_0\sin(\omega t) aplicada diretamente à massa, a equação no regime estacionário dá essa expressão para a amplitude (é a resposta da equação m\ddot{x}+K_{\text{eq}}x=F_0\sin\omega t sem amortecimento).
  • A força transmitida à base é a força nas molas, cuja amplitude é F_{\text{trans}}=K_{\text{eq}}X.
  • Assim a razão (fração) da força transmitida à base em relação à força de excitação é
T=\frac{F_{\text{trans}}}{F_0}=\frac{K_{\text{eq}}}{\left|K_{\text{eq}}-m\omega^2\right|}.
Essa é a equação que vamos usar para impor T=0{,}1.

Passo 3

Análise do sinal e resolução algébrica da condição T=0{,}1.
  • Queremos
\frac{K_{\text{eq}}}{\left|K_{\text{eq}}-m\omega^2\right|}=0{,}1.
  • Há duas possibilidades quanto ao sinal de K_{\text{eq}}-m\omega^2. Se K_{\text{eq}}>m\omega^2 o valor absoluto é K_{\text{eq}}-m\omega^2, e a equação vira
\frac{K_{\text{eq}}}{K_{\text{eq}}-m\omega^2}=0{,}1,
o que levaria a K_{\text{eq}}(1-0{,}1)= -0{,}1 m\omega^2, ou 0{,}9K_{\text{eq}}=-0{,}1m\omega^2, impossível (rigidez negativa). Portanto essa hipótese é inconsistente.
  • Logo deve ocorrer K_{\text{eq}}<m\omega^2, e o valor absoluto é m\omega^2-K_{\text{eq}}. Assim
\frac{K_{\text{eq}}}{m\omega^2-K_{\text{eq}}}=0{,}1.
  • Resolver para K_{\text{eq}}:
K_{\text{eq}}=0{,}1\bigl(m\omega^2-K_{\text{eq}}\bigr).
K_{\text{eq}}=0{,}1m\omega^2-0{,}1K_{\text{eq}}.
K_{\text{eq}}+0{,}1K_{\text{eq}}=0{,}1m\omega^2.
1{,}1\,K_{\text{eq}}=0{,}1\,m\omega^2.
K_{\text{eq}}=\frac{0{,}1}{1{,}1}\,m\omega^2=\frac{1}{11}\,m\omega^2.
  • Como K_{\text{eq}}=4K (quatro molas em paralelo), a rigidez de cada mola é
K=\frac{K_{\text{eq}}}{4}=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{11}\,m\omega^2=\frac{m\omega^2}{44}.
Observação elegante: não precisámos da amplitude F_0 nem da excentricidade; a razão pedida dá essa relação direta entre K, m e \omega.

Passo 4

Converter a rotação dada em \mathrm{rpm} para velocidade angular \omega em \mathrm{rad/s} e calcular numericamente.
  • Conversão:
\omega=1000\\ \mathrm{rpm}\times\frac{2\pi\\ \mathrm{rad}}{1\\ \mathrm{rev}}\times\frac{1\\ \mathrm{min}}{60\\ \mathrm{s}}=\frac{1000\cdot 2\pi}{60}=\frac{100\pi}{3}\\ \mathrm{rad/s}.
  • Valor numérico:
\omega=\frac{100\pi}{3}\approx 104{,}7197551\\ \mathrm{rad/s}.
  • Calcular m\omega^2:
m\omega^2=40\cdot\left(\frac{100\pi}{3}\right)^{\!2}=40\cdot\frac{10000\pi^2}{9}=\frac{400000\pi^2}{9}\approx 4{,}38649\times10^{5}\\ \mathrm{N/m}.
  • Agora calcular K por mola usando K=\dfrac{m\omega^2}{44}:
K=\frac{1}{44}\,m\omega^2\approx\frac{4{,}38649\times10^{5}}{44}\approx 9{,}9693\times10^{3}\\ \mathrm{N/m}.

Passo 5

Interpretação final e verificação rápida.
  • Rigidez equivalente total:
K_{\text{eq}}=4K\approx 4\cdot 9{,}9693\times10^{3}\approx 3{,}9877\times10^{4}\\ \mathrm{N/m},
o que coincide com K_{\text{eq}}=\dfrac{1}{11}m\omega^2 encontrado antes.
  • A hipótese K_{\text{eq}}<m\omega^2 fica satisfeita numericamente: K_{\text{eq}}\approx 3{,}99\times10^{4}<m\omega^2\approx 4{,}3865\times10^{5}.

Resposta

K\approx 9{,}97\times10^{3}\\ \mathrm{N/m}

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