Um exaustor que gira a 1.000 rpm deve ser suportado por quatro molas, cada qual com rigidez
. Se somente
da força desbalanceadora do exaustor deve ser transmitida à base, qual seria o valor de
? Considere que a massa do exaustor seja 40 kg .
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Determinar o valor da rigidez
de cada mola (há quatro molas idênticas) de modo que somente da força desbalanceadora seja transmitida à base.
Informações fornecidas:
- Massa do exaustor:
. - Velocidade de rotação:
. - Número de molas:
, cada uma com rigidez . As quatro agem em paralelo, então a rigidez equivalente ao sistema é . - Fração da força desbalanceadora transmitida à base desejada:
(ou em razão).
Observação: o enunciado não fornece o desbalanceamento geométrico (excentricidade), mas isso não é necessário porque a razão transmitida à base em regime harmônico independe da amplitude absoluta da força aplicada — ela depende apenas da relação entre
,
e a rigidez equivalente.
Passo 2
Modelagem física e equação básica (intuição e fórmulas que vamos usar).
- O desbalanceamento rotativo gera uma força harmônica aplicada ao centro de massa do exaustor com frequência
(rad/s). A amplitude dessa força pode ser escrita como (proporcional a ), mas o valor absoluto de não é necessário para a razão transmitida. - Modelo simplificado: massa
ligada à base por uma rigidez total (sistema massa-mola sem amortecimento, para simplificar). - Em regime forçado (excitação harmônica de frequência
) a amplitude da deflexão da massa é, sem amortecimento:
Explicação: para uma força harmônica
aplicada diretamente à massa, a equação no regime estacionário dá essa expressão para a amplitude (é a resposta da equação
sem amortecimento).
- A força transmitida à base é a força nas molas, cuja amplitude é
. - Assim a razão (fração) da força transmitida à base em relação à força de excitação é
Essa é a equação que vamos usar para impor
.
Passo 3
Análise do sinal e resolução algébrica da condição
.
- Queremos
- Há duas possibilidades quanto ao sinal de
. Se o valor absoluto é , e a equação vira
o que levaria a
, ou
, impossível (rigidez negativa). Portanto essa hipótese é inconsistente.
- Logo deve ocorrer
, e o valor absoluto é . Assim
- Resolver para
:
- Como
(quatro molas em paralelo), a rigidez de cada mola é
Observação elegante: não precisámos da amplitude
nem da excentricidade; a razão pedida dá essa relação direta entre
,
e
.
Passo 4
Converter a rotação dada em
para velocidade angular
em
e calcular numericamente.
- Conversão:
- Valor numérico:
- Calcular
:
- Agora calcular
por mola usando :
Passo 5
Interpretação final e verificação rápida.
- Rigidez equivalente total:
o que coincide com
encontrado antes.
- A hipótese
fica satisfeita numericamente: .