(
) - Um oscilador harmónico de
levemente amortecido tem uma frequência de oscilaçåo angular de
. (a) Se o deslocamento máximo de
ocorre quando
amortecimento constante
e
, qual é o deslocamento do objeto quando
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um problema sobre oscilações harmônicas amortecidas. O que isso significa? Imagine um objeto vibrando para frente e para trás, como uma mola, mas com um leve atrito que faz as oscilações diminuírem com o tempo. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula das oscilações amortecidas, que leva em conta a massa do objeto, a constante de amortecimento e a frequência angular.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula geral para o deslocamento
de um oscilador harmônico amortecido:
Aqui:
-
é o deslocamento máximo inicial, -
é a constante de amortecimento, -
é a massa do objeto, -
é a frequência angular amortecida.
Passo 3
Vamos identificar os valores que temos no problema:
- Massa
, - Constante de amortecimento
, - Frequência angular
, - Deslocamento máximo inicial
, - Tempo
.
Passo 4
Precisamos calcular a frequência angular amortecida
. A relação entre a frequência angular sem amortecimento
e a amortecida
é dada por:
Vamos calcular
:
Agora, calculamos
:
Passo 5
Agora, substituímos todos os valores na fórmula do deslocamento
:
Vamos simplificar passo a passo.
Passo 6
Primeiro, calculamos o expoente:
Então,
.
Passo 7
Agora, calculamos o argumento do cosseno:
E
.
Passo 8
Finalmente, multiplicamos tudo junto:
Resposta
O deslocamento do objeto quando
é aproximadamente 0,371 metros.