( 3,0 pts ) - Um oscilador harmónico de 2,0 kg levemente amortecido tem uma frequência de oscilaçåo angular de 0.25 rad / s. (a) Se o deslocamento máximo de 1,0 m ocorre quando t=0,0 s, e, o amortecimento constante b e 0,8 kg / s, qual é o deslocamento do objeto quando t=4,0 s ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um problema sobre oscilações harmônicas amortecidas. O que isso significa? Imagine um objeto vibrando para frente e para trás, como uma mola, mas com um leve atrito que faz as oscilações diminuírem com o tempo. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula das oscilações amortecidas, que leva em conta a massa do objeto, a constante de amortecimento e a frequência angular.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula geral para o deslocamento x(t) = A cdot e^-b2m t cdot cos(omega' t) de um oscilador harmônico amortecido:
Aqui:
  • é o deslocamento máximo inicial,
  • é a constante de amortecimento,
  • é a massa do objeto,
  • é a frequência angular amortecida.

Passo 3

Vamos identificar os valores que temos no problema:
  • Massa ,
  • Constante de amortecimento ,
  • Frequência angular ,
  • Deslocamento máximo inicial ,
  • Tempo .

Passo 4

Precisamos calcular a frequência angular amortecida omega' = raizomega^2 - (b2m)^2 . A relação entre a frequência angular sem amortecimento b2m = 0,82 times 2,0 = 0,84 = 0,2 , rad/s e a amortecida omega' = raiz(0,25)^2 - (0,2)^2 = raiz0,0625 - 0,04 = raiz0,0225 = 0,15 , rad/s é dada por:
Vamos calcular :
Agora, calculamos :

Passo 5

Agora, substituímos todos os valores na fórmula do deslocamento x(4,0) = 1,0 cdot e^-0,82 times 2,0 times 4,0 cdot cos(0,15 times 4,0) :
Vamos simplificar passo a passo.

Passo 6

Primeiro, calculamos o expoente:
-0,84 times 4,0 = -0,2 times 4,0 = -0,8
Então, .

Passo 7

Agora, calculamos o argumento do cosseno:
0,15 times 4,0 = 0,6 , rad
E .

Passo 8

Finalmente, multiplicamos tudo junto:
x(4,0) = 1,0 times 0,4493 times 0,8253 approx 0,371 , m

Resposta

O deslocamento do objeto quando é aproximadamente 0,371 metros.

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