( 2,0 pts ) - Um prototipo eletrônico possui entre seus sensores um acelerometro, capaz de detectar aceleraçōes entre 0.1 m / s^2 e 50 m / s^2. Dessa forma você prende o dispositivo a um sistema massa-mola, cuja amplitude de oscilaçâo é 20 cm . Quais os valores de periodos podem ser detectados neste aparato?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que queremos resolver aqui. Temos um protótipo eletrônico com um acelerômetro que pode detectar acelerações entre e . Esse dispositivo está preso a um sistema massa-mola que oscila com uma amplitude de (ou ). A gente precisa descobrir quais são os valores dos períodos de oscilação que esse aparato consegue detectar.
Conteúdo da matéria: Movimento Harmônico Simples (MHS), acelerômetros, sistemas massa-mola.
O que vamos precisar para resolver: Fórmulas que relacionam aceleração, amplitude e período em um sistema massa-mola.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como a aceleração ( a = A omega^2 ) está relacionada à amplitude ( ) e à frequência angular ( ) em um Movimento Harmônico Simples. A fórmula básica é:
Aqui, é a amplitude da oscilação e é a frequência angular.

Passo 3

Agora, precisamos relacionar a frequência angular ( omega = 2piT ) com o período ( ). A frequência angular está ligada ao período pela seguinte equação:
Onde é o período de oscilação.

Passo 4

Vamos substituir a expressão da frequência angular ( a = A ( 2piT )^2 ) na equação da aceleração:
a = 4pi^2 AT^2
Isso simplifica para:

Passo 5

Nosso objetivo é encontrar o período ( T = 2pi raizAa ), então vamos rearranjar a equação para isolá-lo:
Essa fórmula nos permite calcular o período com base na amplitude e na aceleração.

Passo 6

Agora, vamos usar os valores fornecidos no problema:
  • Amplitude ( ) =
  • Aceleração mínima ( ) =
  • Aceleração máxima ( ) =
Vamos calcular os períodos correspondentes a essas acelerações.

Passo 7

Primeiro, calculamos o período mínimo ( Tmin = 2pi raiz0,250 = 2pi raiz0,004 approx 2pi times 0,0632456 approx 0,397 , segundos ) usando a aceleração máxima ( ):

Passo 8

Em seguida, calculamos o período máximo ( Tmax = 2pi raiz0,20,1 = 2pi raiz2 approx 2pi times 1,4142 approx 8,89 , segundos ) usando a aceleração m��nima ( ):

Resposta

Os períodos que podem ser detectados por esse aparato variam aproximadamente de 0,4 segundos a 8,9 segundos.

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