(2,0 pts) Seja g: R -> R uma função diferenciável e seja f dada por f(x) = x * g(x^2). Mostre que f'(x) = g(x^2) + 2 * x^2 * g(x^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para encontrar a derivada da função . Aqui, estamos lidando com cálculo diferencial, especificamente com a derivação de funções que envolvem produtos e funções compostas. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a Regra do Produto e a Regra da Cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Regra do Produto. Ela diz que se temos uma função que é o produto de duas outras funções, ou seja, , então a derivada de em relação a é:
No nosso caso, . Vamos identificar e :

Passo 3

Agora, vamos derivar cada uma dessas funções individualmente.
Primeiro, a derivada de em relação a é simples:
Em seguida, precisamos derivar . Aqui, usamos a Regra da Cadeia porque temos uma função composta. A Regra da Cadeia nos diz que a derivada de é:

Passo 4

Agora que temos e , podemos aplicar a Regra do Produto para encontrar :
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:

Resposta

Portanto, a derivada de é:

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