(2,0 pts) Seja
uma função diferenciável e seja
dada por
. Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para encontrar a derivada da função
. Aqui, estamos lidando com cálculo diferencial, especificamente com a derivação de funções que envolvem produtos e funções compostas. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a Regra do Produto e a Regra da Cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da Regra do Produto. Ela diz que se temos uma função que é o produto de duas outras funções, ou seja,
, então a derivada de
em relação a
é:
No nosso caso,
. Vamos identificar
e
:
Passo 3
Agora, vamos derivar cada uma dessas funções individualmente.
Primeiro, a derivada de
em relação a
é simples:
Em seguida, precisamos derivar
. Aqui, usamos a Regra da Cadeia porque temos uma função composta. A Regra da Cadeia nos diz que a derivada de
é:
Passo 4
Agora que temos
e
, podemos aplicar a Regra do Produto para encontrar
:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão:
Resposta
Portanto, a derivada de
é: