(2 pts) Para a série
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2^{1 / n}}-\frac{1}{2^{1 /(n+1)}}\right)
determine os primeiros quatro elementos da sequência de somas parciais \left\{s_{n}\right\} e obtenha uma formula para s_{n} em termos de n. Determine também se a série infinita é convergente ou divergente, no caso de ser convergente, calcule sua soma

Passo 1

O enunciado considera a série
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac{1}{2^{1/n}}-\frac{1}{2^{1/(n+1)}}\Bigr),
pede os quatro primeiros elementos da sequência de somas parciais \{s_n\}, uma fórmula geral para s_n e verificar se a série converge, calculando sua soma caso convirja. O conteúdo aqui é o de séries telescópicas, em que muitos termos se cancelam.

Passo 2

Calculamos termo a termo e as somas parciais:
- Para n=1:
a_1=\frac{1}{2^{1/1}}-\frac{1}{2^{1/2}} =\frac12-\frac{1}{\sqrt2},
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s_1=\frac12-\frac{1}{\sqrt2}.
- Para n=2:
a_2=\frac{1}{2^{1/2}}-\frac{1}{2^{1/3}},
então
s_2=s_1+a_2 =\frac12-\frac{1}{\sqrt2}+\frac{1}{\sqrt2}-\frac{1}{2^{1/3}} =\frac12-\frac{1}{2^{1/3}}.
- Para n=3:
a_3=\frac{1}{2^{1/3}}-\frac{1}{2^{1/4}}, \quad s_3=s_2+a_3 =\frac12-\frac{1}{2^{1/4}}.
- Para n=4:
a_4=\frac{1}{2^{1/4}}-\frac{1}{2^{1/5}}, \quad s_4=s_3+a_4 =\frac12-\frac{1}{2^{1/5}}.

Passo 3

Observando o padrão de cancelamento, para n genérico temos
s_n =\sum_{k=1}^n\Bigl(\frac{1}{2^{1/k}}-\frac{1}{2^{1/(k+1)}}\Bigr) =\frac{1}{2^{1/1}}-\frac{1}{2^{1/(n+1)}} =\frac12-\frac{1}{2^{1/(n+1)}}.

Passo 4

Para concluir, calculemos o limite das somas parciais:
\lim_{n\to\infty}s_n =\lim_{n\to\infty}\Bigl(\frac12-\frac{1}{2^{1/(n+1)}}\Bigr) =\frac12-1 =-\frac12.
Como o limite existe e é finito, a série converge e sua soma é -\tfrac12.

Resposta

s_1=\frac12-\frac{1}{\sqrt2},\quad s_2=\frac12-\frac{1}{2^{1/3}},\quad s_3=\frac12-\frac{1}{2^{1/4}},\quad s_4=\frac12-\frac{1}{2^{1/5}}.
Fórmula geral:
s_n=\frac12-\frac{1}{2^{1/(n+1)}}.
A série converge e
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac{1}{2^{1/n}}-\frac{1}{2^{1/(n+1)}}\Bigr) =-\frac12.

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