(2 pts) Para a série
determine os primeiros quatro elementos da sequência de somas parciais
e obtenha uma formula para
em termos de
. Determine também se a série infinita é convergente ou divergente, no caso de ser convergente, calcule sua soma
Passo 1
O enunciado considera a série
pede os quatro primeiros elementos da sequência de somas parciais
, uma fórmula geral para
e verificar se a série converge, calculando sua soma caso convirja. O conteúdo aqui é o de séries telescópicas, em que muitos termos se cancelam.
Passo 2
Calculamos termo a termo e as somas parciais:
- Para :
- Para
logo
- Para
:
então
- Para
:
- Para
:
Passo 3
Observando o padrão de cancelamento, para
genérico temos
Passo 4
Para concluir, calculemos o limite das somas parciais:
Como o limite existe e é finito, a série converge e sua soma é
.
Resposta
Fórmula geral:
A série converge e