( 2 pts) Paradoxo de Zenon, Aquiles (A) e uma tartaruga (T) decidiram apostar uma corrida. A permite que T inicie 100 m a frente já que A corre a 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e T corre a 0,1 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Quando A alcança o ponto desde onde T partiu, T já se deslocou uma certa distância à frente. Quando A alcança esse outro ponto a frente, T se move uma outra distância. Como isso se repete indefinidamente, Zenon afirma que A nunca poderá alcançar a T. Mostre que essa afirmação está incorreta e indique quando Aquile ultrapassa a tartaruga.

Passo 1

O enunciado descreve um “paradoxo” em que Aquiles corre a 10\\ \mathrm{m/s} e a tartaruga a 0,1\\ \mathrm{m/s}, com a tartaruga tendo uma vantagem inicial de 100\\ \mathrm{m}. Zenon argumenta que, cada vez que Aquiles alcança o ponto onde a tartaruga estava, ela já avançou mais um pouquinho, e assim por diante, sugerindo que Aquiles jamais a alcançaria. O conteúdo é soma de séries geométricas e resolução de equação linear de posição em função do tempo. Vamos mostrar que a soma das etapas converge e determinar o instante em que Aquiles ultrapassa a tartaruga.

Passo 2

Descrições contínuas dos movimentos: deixe t ser o tempo em segundos contado a partir do início da corrida.
A posição de Aquiles é
x_A(t) = 10\,t,
e a posição da tartaruga é
x_T(t) = 100 + 0{,}1\,t.
Aquiles alcança a tartaruga no instante em que x_A(t)=x_T(t).

Passo 3

Igualando as posições, temos
10\,t = 100 + 0{,}1\,t
10\,t - 0{,}1\,t = 100
9{,}9\,t = 100
t = \frac{100}{9{,}9} \approx 10{,}101010\ldots\\ \mathrm{s}.

Passo 4

Para conectar isso ao argumento infinito de Zenon, note as etapas sucessivas em que Aquiles percorre:
primeiro 100\\ \mathrm{m} em 100/10=10\\ \mathrm{s}, depois 1\\ \mathrm{m} (avançado pela tartaruga) em 1/10=0{,}1\\ \mathrm{s}, depois 0{,}01\\ \mathrm{m} em 0{,}001\\ \mathrm{s}, e assim por diante. A soma total do tempo é a série geométrica
10 + 0{,}1 + 0{,}001 + \cdots = 10 \,\sum_{k=0}^{\infty}(0{,}01)^k = \frac{10}{1 - 0{,}01} = \frac{10}{0{,}99} = \frac{100}{9{,}9},
que coincide com o resultado anterior e é finita.

Resposta

Aquiles ultrapassa a tartaruga em
t = \frac{100}{9{,}9}\approx10{,}10\\ \mathrm{s}.

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