( 2 pts) Paradoxo de Zenon, Aquiles
e uma tartaruga
decidiram apostar uma corrida.
permite que
inicie 100 m a frente já que
corre a
e
corre a
. Quando
alcança o ponto desde onde
partiu,
já se deslocou uma certa distância à frente. Quando
alcança esse outro ponto a frente,
se move uma outra distância. Como isso se repete indefinidamente, Zenon afirma que A nunca poderá alcançar a
. Mostre que essa afirmação está incorreta e indique quando Aquile ultrapassa a tartaruga.
Passo 1
O enunciado descreve um “paradoxo” em que Aquiles corre a
e a tartaruga a
, com a tartaruga tendo uma vantagem inicial de
. Zenon argumenta que, cada vez que Aquiles alcança o ponto onde a tartaruga estava, ela já avançou mais um pouquinho, e assim por diante, sugerindo que Aquiles jamais a alcançaria. O conteúdo é soma de séries geométricas e resolução de equação linear de posição em função do tempo. Vamos mostrar que a soma das etapas converge e determinar o instante em que Aquiles ultrapassa a tartaruga.
Passo 2
Descrições contínuas dos movimentos: deixe
ser o tempo em segundos contado a partir do início da corrida.
A posição de Aquiles é
A posição de Aquiles é
e a posição da tartaruga é
Aquiles alcança a tartaruga no instante em que
.
Passo 3
Igualando as posições, temos
Passo 4
Para conectar isso ao argumento infinito de Zenon, note as etapas sucessivas em que Aquiles percorre:
primeiro em
, depois
(avançado pela tartaruga) em
, depois
em
, e assim por diante. A soma total do tempo é a série geométrica
primeiro
que coincide com o resultado anterior e é finita.
Resposta
Aquiles ultrapassa a tartaruga em