(2 pts) Use o teste da integral para determinar se a série
converge ou diverge. Certifique-se de que as condições do teste da integral sejam satisfeitas.
Passo 1
O enunciado pede para usar o teste da integral na série
O conteúdo envolvido é o teste da integral: definimos uma função contínua, positiva e eventualmente decrescente
cujo valor em
coincide com o termo geral da série, comparamos a convergência de
com a soma de
.
Passo 2
Observe que
então o termo geral pode ser escrito como
Definimos a função
para
, de modo que
.
Passo 3
Verificamos as condições do teste da integral em um intervalo
com
grande:
-
é contínua em salvo em , mas escolhemos . - Para
, e , logo .
Passo 4
Vamos ver para que
a função se torna decrescente. Calculamos
Como o denominador é sempre positivo, o sinal de
é o mesmo de
, que é negativo para
. Logo,
é decrescente em
.
Passo 5
Aplicamos o teste da integral em
. Temos
Uma primitiva é
Portanto
Ao fazermos
,
, logo a integral diverge.
Passo 6
Pelo teste da integral, como
a série
diverge. Os termos de
a
somam um valor finito, então a série original também diverge.
Resposta
A série diverge pelo teste da integral.