(2 pts) Use o teste da integral para determinar se a série
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{n-4}{n^{2}-2 n+1}
converge ou diverge. Certifique-se de que as condições do teste da integral sejam satisfeitas.

Passo 1

O enunciado pede para usar o teste da integral na série
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{n-4}{n^{2}-2n+1}\,.
O conteúdo envolvido é o teste da integral: definimos uma função contínua, positiva e eventualmente decrescente f(x) cujo valor em x=n coincide com o termo geral da série, comparamos a convergência de
\int_{A}^{\infty}f(x)\,dx
com a soma de a_{n}=f(n).

Passo 2

Observe que
n^{2}-2n+1=(n-1)^{2},
então o termo geral pode ser escrito como
a_{n}=\frac{n-4}{(n-1)^{2}}.
Definimos a função
f(x)=\frac{x-4}{(x-1)^{2}},
para x>1, de modo que f(n)=a_{n}.

Passo 3

Verificamos as condições do teste da integral em um intervalo [N,\infty) com N grande:
  1. f(x) é contínua em (1,\infty) salvo em x=1, mas escolhemos N>1.
  2. Para x>4, x-4>0 e (x-1)^{2}>0, logo f(x)>0.

Passo 4

Vamos ver para que x a função se torna decrescente. Calculamos
f'(x) =\frac{(x-1)^{2}-2(x-1)(x-4)}{(x-1)^{4}} =\frac{(x-1)\bigl[(x-1)-2(x-4)\bigr]}{(x-1)^{4}} =\frac{(x-1)(7-x)}{(x-1)^{4}}.
Como o denominador é sempre positivo, o sinal de f'(x) é o mesmo de (x-1)(7-x), que é negativo para x>7. Logo, f é decrescente em [7,\infty).

Passo 5

Aplicamos o teste da integral em [7,\infty). Temos
\int_{7}^{b}f(x)\,dx =\int_{7}^{b}\Bigl(\frac{x-4}{(x-1)^{2}}\Bigr)\,dx =\int_{7}^{b}\Bigl(\frac{1}{x-1}-\frac{3}{(x-1)^{2}}\Bigr)\,dx.
Uma primitiva é
F(x)=\ln|x-1|+\frac{3}{x-1}.
Portanto
\int_{7}^{b}f(x)\,dx =\Bigl[\ln(x-1)+\tfrac{3}{x-1}\Bigr]_{7}^{b} =\ln(b-1)-\ln6+\frac{3}{b-1}-\frac{3}{6}.
Ao fazermos b\to\infty, \ln(b-1)\to\infty, logo a integral diverge.

Passo 6

Pelo teste da integral, como
\int_{7}^{\infty}f(x)\,dx = \infty,
a série
\sum_{n=7}^{\infty}a_{n}
diverge. Os termos de n=2 a 6 somam um valor finito, então a série original também diverge.

Resposta

A série diverge pelo teste da integral.

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