(2 pts) A temperatura T(x, y) em pontos do plano x y é dada por T(x, y)=x^2-2 y^2.
a) Em que direção uma formiga na posição (2,-1) deve se mover se quiser se refrescar o mais rápido possível?
b) Se a formiga se mover nessa direção, a que taxa ela experimenta a diminuição da temperatura?
c) A que taxa a formiga experimentaria a diminuição da temperatura se ela se movesse desde o ponto (2,-1) na direção do vetor -i-2 j ?

Passo 1

O enunciado dá a temperatura em cada ponto do plano como
T(x,y)=x^2-2y^2
e pede:
a) a direção de movimento em (2,-1) para refrescar o mais rápido possível (i.e.\ diminuir T no máximo),
b) a que taxa a temperatura diminui nessa direção,
c) a que taxa a temperatura diminui se a formiga se mover na direção de -i-2j.
Para resolver vamos usar o gradiente de T e a derivada direcional, pois o gradiente aponta para o aumento máximo de T e seu negativo indica o declive mais acentuado.

Passo 2

Calculamos o gradiente de T:
nabla T(x,y)=l(partial Tpartial x,,partial Tpartial yr) =(2x,,-4y)
Avaliando em (2,-1) temos
nabla T(2,-1)=(4,,4)

Passo 3

A direção de declive máximo (refrescar mais rápido) é dada por -nabla T(2,-1). Para obter um vetor unitário:
u=-nabla T(2,-1)|nabla T(2,-1)| =(-4,-4)raiz4^2+4^2 =l(-1raiz2,,-1raiz2r)

Passo 4

A taxa de variação de T na direção u é a derivada direcional
DuT=nabla T(2,-1)cdotu =(4,4)cdotl(-1raiz2,-1raiz2r) =-8raiz2 =-4raiz2

Passo 5

Para a direção de -i-2j, primeiro normalizamos
v=(-1,-2)raiz1^2+2^2 =(-1,-2)raiz5
A derivada direcional nessa direção é
DvT =(4,4)cdot(-1,-2)raiz5 =-4+8raiz5 =-12raiz5

Resposta

a) A direção unitária de maior declive é l(-1raiz2,-1raiz2r).
b) Nessa direção a temperatura diminui à taxa -4raiz2.
c) Na direção de -i-2j a taxa de diminuição é -12raiz5.

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