(2 pts) A temperatura
em pontos do plano
é dada por
.
a) Em que direção uma formiga na posição
deve se mover se quiser se refrescar o mais rápido possível?
b) Se a formiga se mover nessa direção, a que taxa ela experimenta a diminuição da temperatura?
c) A que taxa a formiga experimentaria a diminuição da temperatura se ela se movesse desde o ponto
na direção do vetor
?
a) Em que direção uma formiga na posição
b) Se a formiga se mover nessa direção, a que taxa ela experimenta a diminuição da temperatura?
c) A que taxa a formiga experimentaria a diminuição da temperatura se ela se movesse desde o ponto
Passo 1
O enunciado dá a temperatura em cada ponto do plano como
e pede:
a) a direção de movimento em para refrescar o mais rápido possível (i.e.\ diminuir
no máximo),
b) a que taxa a temperatura diminui nessa direção,
c) a que taxa a temperatura diminui se a formiga se mover na direção de .
Para resolver vamos usar o gradiente de e a derivada direcional, pois o gradiente aponta para o aumento máximo de
e seu negativo indica o declive mais acentuado.
a) a direção de movimento em
b) a que taxa a temperatura diminui nessa direção,
c) a que taxa a temperatura diminui se a formiga se mover na direção de
Para resolver vamos usar o gradiente de
Passo 2
Calculamos o gradiente de
:
Avaliando em
temos
Passo 3
A direção de declive máximo (refrescar mais rápido) é dada por
. Para obter um vetor unitário:
Passo 4
A taxa de variação de
na direção
é a derivada direcional
Passo 5
Para a direção de
, primeiro normalizamos
A derivada direcional nessa direção é
Resposta
a) A direção unitária de maior declive é
.
b) Nessa direção a temperatura diminui à taxa .
c) Na direção de a taxa de diminuição é
.
b) Nessa direção a temperatura diminui à taxa
c) Na direção de