Dada a curva r(t)=12 t^2 i+13 t^3 j. Determine o vetor tangente, o vetor normal e o raio de curvatura, no ponto t=1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma curva dada por r(t) = 12 t^2 i + 13 t^3 j. O que a gente precisa fazer é encontrar o vetor tangente, o vetor normal e o raio de curvatura nesse ponto específico onde t = 1. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas de vetores e fórmulas de curvatura.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o vetor tangente. O vetor tangente é basicamente a derivada da posição em relação ao tempo t. Então, vamos derivar cada componente de r(t):
r'(t) = ddt(12 t^2) i + ddt(13 t^3) j = t i + t^2 j
Agora, substituímos t = 1:
r'(1) = 1 i + 1^2 j = i + j
Então, o vetor tangente em t=1 é T = i + j.

Passo 3

Agora, vamos normalizar o vetor tangente para obter o vetor unitário tangente. Isso ajuda a facilitar os cálculos seguintes. A fórmula para normalizar um vetor v é dividir o vetor pela sua magnitude:
|T| = raiz1^2 + 1^2 = raiz2
Tunit = T|T| = 1raiz2 i + 1raiz2 j
Mas como o problema pede o vetor tangente (não necessariamente unitário), a gente já tem T = i + j.

Passo 4

Agora, vamos encontrar o vetor normal. O vetor normal é a derivada do vetor tangente em relação a t, normalizado. Primeiro, derivamos T:
T'(t) = ddt r'(t) = ddt (t i + t^2 j) = i + 2t j
Substituindo t = 1:
T'(1) = i + 2 cdot 1 j = i + 2j
Agora, normalizamos esse vetor:
|T'(1)| = raiz1^2 + 2^2 = raiz5
N = T'(1)|T'(1)| = 1raiz5 i + 2raiz5 j
Então, o vetor normal em t=1 é N = 1raiz5 i + 2raiz5 j.

Passo 5

Por fim, vamos calcular o raio de curvatura. A fórmula do raio de curvatura rho em função das derivadas é:
rho = |r'(t)|^3|r'(t) times r''(t)|
Primeiro, vamos encontrar r''(t):
r''(t) = ddt r'(t) = ddt (t i + t^2 j) = i + 2t j
Substituindo t = 1:
r''(1) = i + 2 j
Agora, calculamos o produto vetorial r'(1) times r''(1):
r'(1) = i + j, r''(1) = i + 2j
r'(1) times r''(1) = i & j & k 1 & 1 & 0 1 & 2 & 0 = (0 - 0)i - (0 - 0)j + (1 cdot 2 - 1 cdot 1)k = k
|r'(1) times r''(1)| = 1
Agora, a magnitude de r'(1):
|r'(1)| = raiz1^2 + 1^2 = raiz2
|r'(1)|^3 = (raiz2)^3 = 2raiz2
Finalmente, o raio de curvatura:
rho = 2raiz21 = 2raiz2

Resposta

O vetor tangente em t=1 é T = i + j, o vetor normal é N = 1raiz5 i + 2raiz5 j e o raio de curvatura nesse ponto é 2raiz2.

Exercícios relacionados