Dada a curva . Determine o vetor tangente, o vetor normal e o raio de curvatura, no ponto .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma curva dada por . O que a gente precisa fazer é encontrar o vetor tangente, o vetor normal e o raio de curvatura nesse ponto específico onde . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas de vetores e fórmulas de curvatura.
Passo 2
Primeiro, vamos achar o vetor tangente. O vetor tangente é basicamente a derivada da posição em relação ao tempo . Então, vamos derivar cada componente de :
Agora, substituímos :
Então, o vetor tangente em é .
Passo 3
Agora, vamos normalizar o vetor tangente para obter o vetor unitário tangente. Isso ajuda a facilitar os cálculos seguintes. A fórmula para normalizar um vetor é dividir o vetor pela sua magnitude:
Mas como o problema pede o vetor tangente (não necessariamente unitário), a gente já tem .
Passo 4
Agora, vamos encontrar o vetor normal. O vetor normal é a derivada do vetor tangente em relação a , normalizado. Primeiro, derivamos :
Substituindo :
Agora, normalizamos esse vetor:
Então, o vetor normal em é .
Passo 5
Por fim, vamos calcular o raio de curvatura. A fórmula do raio de curvatura em função das derivadas é:
Primeiro, vamos encontrar :
Substituindo :
Agora, calculamos o produto vetorial :
|r'(1) times r''(1)| = 1
Agora, a magnitude de r'(1):
|r'(1)| = raiz1^2 + 1^2 = raiz2
|r'(1)|^3 = (raiz2)^3 = 2raiz2
Finalmente, o raio de curvatura:
rho = 2raiz21 = 2raiz2
Resposta
O vetor tangente em t=1 é T = i + j, o vetor normal é N = 1raiz5 i + 2raiz5 j e o raio de curvatura nesse ponto é 2raiz2.