PTV - ENERGIA e ESTABILIDADE
A barra suporta um disco de peso W na ponta. Se as molas estão relaxadas quando a barra está na vertical, determine a rigidez das molas k 1=k 2=k, de modo que haja equilibrio neutro na vertical.
Sendo: W=500 N, a=b=c=1 m

Passo 1

Vamos lá! Temos um exercício da matéria de Energia e Estabilidade. A situação é a seguinte: uma barra está apoiando um disco com peso $ W = 500 , N $ na sua ponta. Existem duas molas com as rigidezes $ k_1 = k_2 = k $ conectadas à barra. Quando a barra está na posição vertical, as molas estão relaxadas, ou seja, não estão esticadas nem comprimidas. Nosso objetivo é encontrar o valor da rigidez $ k $ das molas para que a barra esteja em equilíbrio neutro na vertical.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é equilíbrio neutro. Em equilíbrio neutro, a barra não se move nem para cima nem para baixo quando perturbada levemente. Isso significa que as forças que atuam sobre a barra estão balanceadas.

Passo 3

Para que isso aconteça, devemos analisar todas as forças que estão atuando na barra. Temos:
  1. O peso do disco $ W = 500 , N $ atuando para baixo na ponta da barra.
  2. As forças exercidas pelas molas $ k_1 $ e $ k_2 $ atuando na barra.

Passo 4

Vamos considerar que a barra tem um comprimento $ l = 1 , m $. As molas estão conectadas a pontos simétricos em relação à barra, formando ângulos iguais com a vertical quando a barra está em equilíbrio.

Passo 5

Quando as molas estão relaxadas na posição vertical, elas não exercem nenhuma força. Quando a barra está inclinada devido ao peso do disco, as molas são esticadas ou comprimidas, gerando uma força restauradora que tenta trazer a barra de volta para a posição vertical.

Passo 6

Para encontrar a rigidez $ k $ das molas, vamos usar o conceito de torque. O torque é a tendência de uma força fazer um objeto girar em torno de um ponto. Para que a barra esteja em equilíbrio, o torque total deve ser zero.

Passo 7

O torque devido ao peso $ W $ é dado por:
W
Onde $ a $ é a distância perpendicular do ponto de apoio até a linha de ação da força $ W $.

Passo 8

As molas exercem uma força $ F = k \times \Delta x $, onde $ \Delta x $ é a deformação da mola. Como as molas estão simétricas, o torque total devido às molas é:
F = k times De
Onde $ b = 1 , m $ é a distância perpendicular semelhante a $ a $.

Passo 9

Para o equilíbrio neutro, o torque devido ao peso deve ser igual ao torque devido às molas:
tauW = taumolas
Substituindo as expressões:
W times a = 2 times k times De

Passo 10

Considerando que a barra está em equilíbrio neutro na vertical e que as deformações das molas são proporcionais ao deslocamento da barra, podemos relacionar $ \Delta x $ ao ângulo de inclinação $ \theta $. Para simplificar, assumimos que $ \Delta x = c \times \theta $, onde $ c = 1 , m $ é a constante de proporcionalidade.

Passo 11

Substituindo $ \Delta x = c \times \theta $ na equação do torque:
De
Como $ \theta $ é pequeno, podemos simplificar a relação e resolver para $ k $.

Passo 12

Rearranjando a equação para encontrar $ k $:
k
Como $ \theta $ não é dado, e para equilíbrio neutro, consideramos que a rigidez $ k $ deve ser tal que contrabalança exatamente o peso $ W $ na distância $ a $. Então, podemos simplificar para:
k = W times a2 times c times b times theta

Passo 13

Agora, substituímos os valores fornecidos:
k = 500 , N times 1 , m2 times 1 , m times 1 , m = 5002 = 250 , N/m

Resposta

A rigidez das molas necessárias para o equilíbrio neutro na vertical é $ k = 250 , N/m $.

Exercícios relacionados