PTV - ENERGIA e ESTABILIDADE
A barra suporta um disco de peso
na ponta. Se as molas estão relaxadas quando a barra está na vertical, determine a rigidez das molas
, de modo que haja equilibrio neutro na vertical.
Sendo:
A barra suporta um disco de peso
Sendo:
Passo 1
Vamos lá! Temos um exercício da matéria de Energia e Estabilidade. A situação é a seguinte: uma barra está apoiando um disco com peso $ W = 500 , N $ na sua ponta. Existem duas molas com as rigidezes $ k_1 = k_2 = k $ conectadas à barra. Quando a barra está na posição vertical, as molas estão relaxadas, ou seja, não estão esticadas nem comprimidas. Nosso objetivo é encontrar o valor da rigidez $ k $ das molas para que a barra esteja em equilíbrio neutro na vertical.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é equilíbrio neutro. Em equilíbrio neutro, a barra não se move nem para cima nem para baixo quando perturbada levemente. Isso significa que as forças que atuam sobre a barra estão balanceadas.
Passo 3
Para que isso aconteça, devemos analisar todas as forças que estão atuando na barra. Temos:
- O peso do disco $ W = 500 , N $ atuando para baixo na ponta da barra.
- As forças exercidas pelas molas $ k_1 $ e $ k_2 $ atuando na barra.
Passo 4
Vamos considerar que a barra tem um comprimento $ l = 1 , m $. As molas estão conectadas a pontos simétricos em relação à barra, formando ângulos iguais com a vertical quando a barra está em equilíbrio.
Passo 5
Quando as molas estão relaxadas na posição vertical, elas não exercem nenhuma força. Quando a barra está inclinada devido ao peso do disco, as molas são esticadas ou comprimidas, gerando uma força restauradora que tenta trazer a barra de volta para a posição vertical.
Passo 6
Para encontrar a rigidez $ k $ das molas, vamos usar o conceito de torque. O torque é a tendência de uma força fazer um objeto girar em torno de um ponto. Para que a barra esteja em equilíbrio, o torque total deve ser zero.
Passo 7
O torque devido ao peso $ W $ é dado por:
Onde $ a $ é a distância perpendicular do ponto de apoio até a linha de ação da força $ W $.
Passo 8
As molas exercem uma força $ F = k \times \Delta x $, onde $ \Delta x $ é a deformação da mola. Como as molas estão simétricas, o torque total devido às molas é:
Onde $ b = 1 , m $ é a distância perpendicular semelhante a $ a $.
Passo 9
Para o equilíbrio neutro, o torque devido ao peso deve ser igual ao torque devido às molas:
Substituindo as expressões:
Passo 10
Considerando que a barra está em equilíbrio neutro na vertical e que as deformações das molas são proporcionais ao deslocamento da barra, podemos relacionar $ \Delta x $ ao ângulo de inclinação $ \theta $. Para simplificar, assumimos que $ \Delta x = c \times \theta $, onde $ c = 1 , m $ é a constante de proporcionalidade.
Passo 11
Substituindo $ \Delta x = c \times \theta $ na equação do torque:
Como $ \theta $ é pequeno, podemos simplificar a relação e resolver para $ k $.
Passo 12
Rearranjando a equação para encontrar $ k $:
Como $ \theta $ não é dado, e para equilíbrio neutro, consideramos que a rigidez $ k $ deve ser tal que contrabalança exatamente o peso $ W $ na distância $ a $. Então, podemos simplificar para:
Passo 13
Agora, substituímos os valores fornecidos:
Resposta
A rigidez das molas necessárias para o equilíbrio neutro na vertical é $ k = 250 , N/m $.