Um sistema é constituído por quatro vetores vinculados, cujos componentes e respectivos pontos de aplicação em um dado sistema de eixos cartesianos são: em . Determine o módulo de sua resultante, de seu momento resultante com respeito à origem e de seu momento mínimo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado da questão fala sobre um sistema composto por quatro vetores ligados, cada um com suas componentes e pontos de aplicação em um sistema de eixos cartesianos. Nosso objetivo é determinar três coisas:
Módulo da resultante: Ou seja, a magnitude do vetor que representa a soma de todos os vetores do sistema.
Momento resultante com respeito à origem: Isso envolve calcular o torque total gerado por esses vetores em relação ao ponto de origem.
Momento mínimo: O menor valor possível desse momento.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra vetorial, como soma de vetores e cálculo de momentos (ou torques). Além disso, vamos utilizar fórmulas matemáticas para encontrar os valores pedidos. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a resultante dos quatro vetores. A resultante é simplesmente a soma de todos os vetores do sistema. Para somar os vetores, somamos suas componentes correspondentes.
Temos os seguintes vetores:
Vamos somar as componentes de cada vetor:
Calculando cada componente:
Componente x:
Componente y:
Componente z:
Então, a resultante é:
Passo 3
Agora que temos a resultante, vamos calcular o módulo dessa resultante. O módulo de um vetor é dado pela fórmula:
Substituindo os valores que encontramos:
Portanto, o módulo da resultante é .
Passo 4
Agora, vamos calcular o momento de cada vetor com respeito à origem e depois somar esses momentos para encontrar o momento resultante.
O momento de um vetor com posição e força é dado pelo produto vetorial:
Agora, vamos somar os momentos individuais para encontrar o momento resultante:
Mresu
Somando componente a componente:
Componente x: 0 + (-3) + 2 + 0 = -1
Componente y: 4 + 0 + (-1) + 4 = 7
Componente z: -2 + 0 + (-8) + 0 = -10
Então, o momento resultante Mresu é:
Mresu
Passo 6
Agora, vamos encontrar o módulo do momento resultante:
|Mresu
Passo 7
Finalmente, vamos determinar o momento mínimo. O momento mínimo ocorre quando a força está aplicada de forma que o momento seja perpendicular à força, e seu módulo é dado por:
Mmínimo = |Mresuí
Entretanto, para simplificar, podemos considerar que o momento mínimo é o componente do momento que é perpendicular à resultante. Neste caso, utilizando geometria vetorial, o momento mínimo pode ser calculado usando a relação:
Mmínimo = |Mresuí
Calculando o produto vetorial Mresu:
Mresu
Calculando o módulo desse vetor:
|Mresu
Então, o momento mínimo:
Mmínimo = 64,14raiz62 approx 64,147,874 approx 8,15 í
Resposta
Módulo da resultante: raiz62 unidades.
Momento resultante com respeito à origem: (-1, 7, -10) unidades de momento.
Momento mínimo: Aproximadamente 8,15 unidades de momento.