Um sistema S é constituído por quatro vetores vinculados, cujos componentes e respectivos pontos de aplicação em um dado sistema de eixos cartesianos são: v1= (2,0,0) em(0,1,2) ; v2=(0,1,1) em(0,0,3) ; v3=(3,-2,1) em(1,2,0) ; v4=(0,0,4) em (-1,0,2). Determine o módulo de sua resultante, de seu momento resultante com respeito à origem e de seu momento mínimo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado da questão fala sobre um sistema composto por quatro vetores ligados, cada um com suas componentes e pontos de aplicação em um sistema de eixos cartesianos. Nosso objetivo é determinar três coisas:
  1. Módulo da resultante: Ou seja, a magnitude do vetor que representa a soma de todos os vetores do sistema.
  2. Momento resultante com respeito à origem: Isso envolve calcular o torque total gerado por esses vetores em relação ao ponto de origem.
  3. Momento mínimo: O menor valor possível desse momento.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra vetorial, como soma de vetores e cálculo de momentos (ou torques). Além disso, vamos utilizar fórmulas matemáticas para encontrar os valores pedidos. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a resultante dos quatro vetores. A resultante é simplesmente a soma de todos os vetores do sistema. Para somar os vetores, somamos suas componentes correspondentes.
Temos os seguintes vetores:
  • v1 = (2, 0, 0)
  • v2 = (0, 1, 1)
  • v3 = (3, -2, 1)
  • v4 = (0, 0, 4)
Vamos somar as componentes de cada vetor:
R = v1 + v2 + v3 + v4
Calculando cada componente:
  • Componente x: 2 + 0 + 3 + 0 = 5
  • Componente y: 0 + 1 + (-2) + 0 = -1
  • Componente z: 0 + 1 + 1 + 4 = 6
Então, a resultante R é:
R = (5, -1, 6)

Passo 3

Agora que temos a resultante, vamos calcular o módulo dessa resultante. O módulo de um vetor R = (Rx, Ry, Rz) é dado pela fórmula:
|R| = raizRx^2 + Ry^2 + Rz^2
Substituindo os valores que encontramos:
|R| = raiz5^2 + (-1)^2 + 6^2 = raiz25 + 1 + 36 = raiz62
Portanto, o módulo da resultante é raiz62.

Passo 4

Agora, vamos calcular o momento de cada vetor com respeito à origem e depois somar esses momentos para encontrar o momento resultante.
O momento M de um vetor com posição r e força v é dado pelo produto vetorial:
M = r times v
Vamos calcular o momento de cada vetor:
  1. Para v1 = (2, 0, 0) aplicado em r1 = (0, 1, 2):
M1 = r1 times v1 = i & j & k 0 & 1 & 2 2 & 0 & 0 = (1 cdot 0 - 2 cdot 0)i - (0 cdot 0 - 2 cdot 2)j + (0 cdot 0 - 1 cdot 2)k = 0i + 4j - 2k = (0, 4, -2)
  1. Para v2 = (0, 1, 1) aplicado em r2 = (0, 0, 3):
M2 = r2 times v2 = i & j & k 0 & 0 & 3 0 & 1 & 1 = (0 cdot 1 - 3 cdot 1)i - (0 cdot 1 - 3 cdot 0)j + (0 cdot 1 - 0 cdot 0)k = (-3)i - 0j + 0k = (-3, 0, 0)
  1. Para v3 = (3, -2, 1) aplicado em r3 = (1, 2, 0):
M3 = r3 times v3 = i & j & k 1 & 2 & 0 3 & -2 & 1 = (2 cdot 1 - 0 cdot (-2))i - (1 cdot 1 - 0 cdot 3)j + (1 cdot (-2) - 2 cdot 3)k = 2i - 1j - 8k = (2, -1, -8)
  1. Para v4 = (0, 0, 4) aplicado em r4 = (-1, 0, 2):
M4 = r4 times v4 = i & j & k -1 & 0 & 2 0 & 0 & 4 = (0 cdot 4 - 2 cdot 0)i - (-1 cdot 4 - 2 cdot 0)j + (-1 cdot 0 - 0 cdot 0)k = 0i + 4j + 0k = (0, 4, 0)

Passo 5

Agora, vamos somar os momentos individuais para encontrar o momento resultante:
Mresu
Somando componente a componente:
  • Componente x: 0 + (-3) + 2 + 0 = -1
  • Componente y: 4 + 0 + (-1) + 4 = 7
  • Componente z: -2 + 0 + (-8) + 0 = -10
Então, o momento resultante Mresu é:
Mresu

Passo 6

Agora, vamos encontrar o módulo do momento resultante:
|Mresu

Passo 7

Finalmente, vamos determinar o momento mínimo. O momento mínimo ocorre quando a força está aplicada de forma que o momento seja perpendicular à força, e seu módulo é dado por:
Mmínimo = |Mresuí
Entretanto, para simplificar, podemos considerar que o momento mínimo é o componente do momento que é perpendicular à resultante. Neste caso, utilizando geometria vetorial, o momento mínimo pode ser calculado usando a relação:
Mmínimo = |Mresuí
Calculando o produto vetorial Mresu:
Mresu
Calculando o módulo desse vetor:
|Mresu
Então, o momento mínimo:
Mmínimo = 64,14raiz62 approx 64,147,874 approx 8,15 í

Resposta

  • Módulo da resultante: raiz62 unidades.
  • Momento resultante com respeito à origem: (-1, 7, -10) unidades de momento.
  • Momento mínimo: Aproximadamente 8,15 unidades de momento.

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