(PUC-MG) A temperatura, em graus centígrados, no interior de uma câmara, é dada por f(t)=t^{2}-7 t+A, onde t é medido em minutos e A é constante. Se, no instante t=0, a temperatura é de 10^{\circ} C, o tempo gasto para que a temperatura seja mínima, em minutos, é:
a) 3,5
b) 4,0
c) 4,5
d) 6,5
e) 7,5

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:\n
  • Função da temperatura: f(t)=t^{2}-7t+A, onde t está em minutos e A é uma constante.\n
  • Condição inicial: no instante t=0, a temperatura é 10^\circ C, ou seja, f(0)=10.\n
  • Pergunta: qual é o tempo gasto para que a temperatura seja mínima (em minutos)?\n

Passo 2

Usando a condição f(0)=10 para relacionar A.\n
Calcule f(0): \;f(0)=0^{2}-7\cdot 0 + A = A.\n
Como f(0)=10, temos \;A=10.\n
Então a função específica é \;f(t)=t^{2}-7t+10.

Passo 3

Entendimento do formato da função e do que significa “mínima”.\n
A função é um polinômio quadrático do tipo \;f(t)=at^{2}+bt+c.\n
Aqui a=1, b=-7 e c=10.\n
Se a>0 (aqui a=1>0), o gráfico da função é uma parábola voltada para cima, portanto ela tem um único ponto mínimo (o vértice da parábola). Nosso objetivo é encontrar a abscissa desse vértice, ou seja, o valor de t onde f(t) atinge o mínimo.

Passo 4

Método 1 — usando derivada (ideia: extremos ocorrem onde a derivada é zero).\n
Definimos a derivada de \;f(t)=t^{2}-7t+10 como a taxa de variação instantânea de f em relação a t.\n
Calcule a derivada: \;f'(t)=\dfrac{d}{dt}\bigl(t^{2}-7t+10\bigr)=2t-7.\n
Para encontrar extremos, resolvemos f'(t)=0:\n
2t-7=0\n
2t=7\n
t=\dfrac{7}{2}\n
Convertendo para decimal (usando vírgula conforme pedido): \;t=\dfrac{7}{2}=3,5 minutos.\n
Para confirmar que é mínimo, examinamos a segunda derivada: \;f''(t)=\dfrac{d}{dt}(2t-7)=2.\n
Como f''(t)=2>0, o ponto crítico é realmente um mínimo.

Passo 5

Método 2 — completando o quadrado (para entender geometricamente o vértice).\n
Partimos de \;f(t)=t^{2}-7t+10.\n
Reescrevemos agrupando os termos em t:\n
f(t)=\bigl(t^{2}-7t\bigr)+10.\n
Para completar o quadrado, pegamos metade do coeficiente de t e elevamos ao quadrado: metade de -7 é -\tfrac{7}{2}; seu quadrado é \tfrac{49}{4}.\n
Então adicionamos e subtraímos \tfrac{49}{4}:\n
f(t)=\Bigl(t^{2}-7t+\tfrac{49}{4}\Bigr)+10-\tfrac{49}{4}.\n
O primeiro grupo é um quadrado perfeito: \;t^{2}-7t+\tfrac{49}{4}=\bigl(t-\tfrac{7}{2}\bigr)^{2}.\n
Calcule o termo constante: 10-\tfrac{49}{4}=\tfrac{40}{4}-\tfrac{49}{4}=-\tfrac{9}{4}.\n
Logo\n
f(t)=\bigl(t-\tfrac{7}{2}\bigr)^{2}-\tfrac{9}{4}.\n
Dessa forma fica claro que o mínimo ocorre quando o quadrado é zero, isto é, quando t=\tfrac{7}{2}=3,5 minutos, e o valor mínimo de f seria -\tfrac{9}{4} (mas a pergunta só pede o tempo).

Passo 6

Resumo intuitivo e incentivo: encontrámos o tempo do vértice da parábola por duas vias consistentes — derivada e completamento do quadrado — e ambas dão o mesmo resultado. Ótimo trabalho por chegar até aqui; você já tem duas ferramentas para achar extremos de quadráticas na prova.

Resposta

a) 3,5

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