(PUC-MG) A temperatura, em graus centígrados, no interior de uma câmara, é dada por
, onde
é medido em minutos e
é constante. Se, no instante
, a temperatura é de
, o tempo gasto para que a temperatura seja mínima, em minutos, é:
a) 3,5
b) 4,0
c) 4,5
d) 6,5
e) 7,5
a) 3,5
b) 4,0
c) 4,5
d) 6,5
e) 7,5
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:\n
- Função da temperatura:
, onde está em minutos e é uma constante.\n - Condição inicial: no instante
, a temperatura é , ou seja, .\n - Pergunta: qual é o tempo gasto para que a temperatura seja mínima (em minutos)?\n
Passo 2
Usando a condição
para relacionar
.\n
Calcule :
\n
Como , temos
\n
Então a função específica é
Calcule
Como
Então a função específica é
Passo 3
Entendimento do formato da função e do que significa “mínima”.\n
A função é um polinômio quadrático do tipo .\n
Aqui ,
e
.\n
Se (aqui
), o gráfico da função é uma parábola voltada para cima, portanto ela tem um único ponto mínimo (o vértice da parábola). Nosso objetivo é encontrar a abscissa desse vértice, ou seja, o valor de
onde
atinge o mínimo.
A função é um polinômio quadrático do tipo
Aqui
Se
Passo 4
Método 1 — usando derivada (ideia: extremos ocorrem onde a derivada é zero).\n
Definimos a derivada de como a taxa de variação instantânea de
em relação a
.\n
Calcule a derivada: \n
Para encontrar extremos, resolvemos :\n
Definimos a derivada de
Calcule a derivada:
Para encontrar extremos, resolvemos
Convertendo para decimal (usando vírgula conforme pedido):
minutos.\n
Para confirmar que é mínimo, examinamos a segunda derivada: \n
Como , o ponto crítico é realmente um mínimo.
Para confirmar que é mínimo, examinamos a segunda derivada:
Como
Passo 5
Método 2 — completando o quadrado (para entender geometricamente o vértice).\n
Partimos de \n
Reescrevemos agrupando os termos em :\n
Partimos de
Reescrevemos agrupando os termos em
Para completar o quadrado, pegamos metade do coeficiente de
e elevamos ao quadrado: metade de
é
; seu quadrado é
.\n
Então adicionamos e subtraímos :\n
Então adicionamos e subtraímos
O primeiro grupo é um quadrado perfeito:
\n
Calcule o termo constante: \n
Logo\n
Calcule o termo constante:
Logo\n
Dessa forma fica claro que o mínimo ocorre quando o quadrado é zero, isto é, quando
minutos, e o valor mínimo de
seria
(mas a pergunta só pede o tempo).
Passo 6
Resumo intuitivo e incentivo: encontrámos o tempo do vértice da parábola por duas vias consistentes — derivada e completamento do quadrado — e ambas dão o mesmo resultado. Ótimo trabalho por chegar até aqui; você já tem duas ferramentas para achar extremos de quadráticas na prova.
Resposta
a)