8)
(PUC-MG) A soma dos algarismos de um número natural
, é 21. Além disso, seu algarismo das centenas é igual à soma do algarismo das unidades com o algarismo das unidades de milhar. Com base nessas informações, examine cada uma das três afirmativas a seguir:
I. O número
é um múltiplo de 3 .
II. Pelo menos um algarismo de
é ímpar.
III. O algarismo das dezenas de
é par.
O número de afirmativas verdadeiras é:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
I. O número
II. Pelo menos um algarismo de
III. O algarismo das dezenas de
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
Passo 1
O enunciado dá um número natural
com
. Então
é um número de 4 algarismos; vamos chamar os algarismos, da esquerda para a direita, de
(milhar),
(centena),
(dezena) e
(unidade). Assim
e
.
As informações do enunciado, escritas em forma de equações com esses algarismos, são:
e
O que o enunciado pede é verificar, para todo número
que satisfaça essas condições, quais das afirmativas I, II e III são verdadeiras. Vou listar claramente as três afirmativas:
I. é múltiplo de 3.
II. Pelo menos um algarismo de é ímpar.
III. O algarismo das dezenas de é par.
I.
II. Pelo menos um algarismo de
III. O algarismo das dezenas de
Passo 2
Primeiro uso a relação
para simplificar a soma dos algarismos. Substituindo em
vem
Agrupando termos:
É conveniente definir
. Então
, ou seja
Agora uso as restrições de dígitos. Como
é um algarismo, vale
. Além disso,
e
, logo
, mas a soma total
força valores maiores; vamos achar o intervalo de
a partir de
também:
é algarismo, então
. Usando
temos:
Isto dá duas desigualdades:
e
Combinando com
(pois
é algarismo) obtemos
Calcule agora
para cada
:
Portanto
.
Observação importante (sobre paridade): todos esses valores de
são ímpares. Logo o algarismo das dezenas
é sempre ímpar para qualquer número que satisfaça as hipóteses. Isso implica imediatamente que a afirmativa III (“o algarismo das dezenas de
é par”) é falsa.
Passo 3
Examino agora a afirmativa I (múltiplo de 3). Lembrete da propriedade: um número inteiro é divisível por 3 se, e somente se, a soma de seus algarismos é divisível por 3. Aqui a soma dos algarismos foi dada como
. Como
é múltiplo de 3 (
), segue que qualquer número
com esses algarismos tem soma dos algarismos divisível por 3, logo
Explicação rápida da regra (didática): essa regra vem do fato de que
, logo
e o número
é congruente a
módulo 3.
Passo 4
Agora a afirmativa II: “Pelo menos um algarismo de
é ímpar.” Há duas maneiras simples de ver que isso é sempre verdade:
-
Já observei no Passo 2 que
(o algarismo das dezenas) é sempre um dos valores , todos ímpares. Logo há sempre pelo menos um algarismo ímpar (pelo menos ). Portanto II é verdadeira. -
(Argumento alternativo curto) A soma dos algarismos é
, que é ímpar. A soma de quatro algarismos todos pares seria par; assim não é possível que todos os algarismos sejam pares. Logo existe pelo menos um algarismo ímpar.
Portanto II é verdadeira.
Passo 5
Para ficar mais concreto, um exemplo válido é construir um número com
. Escolho
e
(assim
), então
e
(pela fórmula). O número formado é
. Verifica-se:
e
é múltiplo de 3 (pois soma é 21). Isso confirma que existem exemplos reais que satisfazem as hipóteses.
Resposta
c) 2