8)

(PUC-MG) A soma dos algarismos de um número natural n, 10^{3}<n<10^{4}, é 21. Além disso, seu algarismo das centenas é igual à soma do algarismo das unidades com o algarismo das unidades de milhar. Com base nessas informações, examine cada uma das três afirmativas a seguir:
I. O número n é um múltiplo de 3 .
II. Pelo menos um algarismo de n é ímpar.
III. O algarismo das dezenas de n é par.
O número de afirmativas verdadeiras é:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3

Passo 1

O enunciado dá um número natural n com 10^{3}<n<10^{4}. Então n é um número de 4 algarismos; vamos chamar os algarismos, da esquerda para a direita, de a (milhar), b (centena), c (dezena) e d (unidade). Assim a\in\{1,2,\dots,9\} e b,c,d\in\{0,1,\dots,9\}.
As informações do enunciado, escritas em forma de equações com esses algarismos, são:
a+b+c+d=21
e
b = d + a.
O que o enunciado pede é verificar, para todo número n que satisfaça essas condições, quais das afirmativas I, II e III são verdadeiras. Vou listar claramente as três afirmativas:
I. \;n é múltiplo de 3.
II. Pelo menos um algarismo de n é ímpar.
III. O algarismo das dezenas de n é par.

Passo 2

Primeiro uso a relação b=d+a para simplificar a soma dos algarismos. Substituindo em a+b+c+d=21 vem
a + (a+d) + c + d = 21.
Agrupando termos:
2a + 2d + c = 21.
É conveniente definir s = a + d. Então 2s + c = 21, ou seja
\boxed{c = 21 - 2s.}
Agora uso as restrições de dígitos. Como b = s é um algarismo, vale 0 \le s \le 9. Além disso, a\ge 1 e d\ge 0, logo s\ge 1, mas a soma total 21 força valores maiores; vamos achar o intervalo de s a partir de c também: c é algarismo, então 0 \le c \le 9. Usando c = 21 - 2s temos:
0 \le 21 - 2s \le 9.
Isto dá duas desigualdades:
21 - 2s \ge 0 \Rightarrow s \le 10{,}5 \Rightarrow s \le 10,
e
21 - 2s \le 9 \Rightarrow 2s \ge 12 \Rightarrow s \ge 6.
Combinando com s\le 9 (pois b=s é algarismo) obtemos
s \in \{6,7,8,9\}.
Calcule agora c para cada s:
\begin{aligned} s=6 &\Rightarrow c = 21 - 2\cdot 6 = 9,\\\ s=7 &\Rightarrow c = 21 - 2\cdot 7 = 7,\\\ s=8 &\Rightarrow c = 21 - 2\cdot 8 = 5,\\\ s=9 &\Rightarrow c = 21 - 2\cdot 9 = 3. \end{aligned}
Portanto c\in\{9,7,5,3\}.
Observação importante (sobre paridade): todos esses valores de c são ímpares. Logo o algarismo das dezenas c é sempre ímpar para qualquer número que satisfaça as hipóteses. Isso implica imediatamente que a afirmativa III (“o algarismo das dezenas de n é par”) é falsa.

Passo 3

Examino agora a afirmativa I (múltiplo de 3). Lembrete da propriedade: um número inteiro é divisível por 3 se, e somente se, a soma de seus algarismos é divisível por 3. Aqui a soma dos algarismos foi dada como a+b+c+d=21. Como 21 é múltiplo de 3 ( 21=3\cdot7), segue que qualquer número n com esses algarismos tem soma dos algarismos divisível por 3, logo
\text{I é verdadeira.}é
Explicação rápida da regra (didática): essa regra vem do fato de que 10 \equiv 1\pmod{3}, logo 10^k \equiv 1\pmod{3} e o número a\cdot10^3+b\cdot10^2+c\cdot10+d é congruente a a+b+c+d módulo 3.

Passo 4

Agora a afirmativa II: “Pelo menos um algarismo de n é ímpar.” Há duas maneiras simples de ver que isso é sempre verdade:
  1. Já observei no Passo 2 que c (o algarismo das dezenas) é sempre um dos valores \{9,7,5,3\}, todos ímpares. Logo há sempre pelo menos um algarismo ímpar (pelo menos c). Portanto II é verdadeira.
  2. (Argumento alternativo curto) A soma dos algarismos é 21, que é ímpar. A soma de quatro algarismos todos pares seria par; assim não é possível que todos os algarismos sejam pares. Logo existe pelo menos um algarismo ímpar.
Portanto II é verdadeira.

Passo 5

Para ficar mais concreto, um exemplo válido é construir um número com s=6. Escolho a=1 e d=5 (assim a+d=6), então b=s=6 e c=9 (pela fórmula). O número formado é 1695. Verifica-se:
1+6+9+5=21,\qquad b=6=1+5,
e 1695 é múltiplo de 3 (pois soma é 21). Isso confirma que existem exemplos reais que satisfazem as hipóteses.

Resposta

c) 2

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