(PUC-SP) Se a, b e c são números inteiros tais que c^{a}=b^{2 a}, 3 c=3 \cdot 9^{a} e a+b+c=16, então é verdade que
a) a < b < c
b) a < c < b
c) b < a < c
d) b < c < a
e) c < a < b

Passo 1

O enunciado dá três informações (tirei todos os dados do enunciado):
  • São números inteiros a,\;b,\;c.
  • c^{a}=b^{2a}.
  • 3c=3\cdot 9^{a}.
  • a+b+c=16.
O que é pedido: identificar qual das opções (a)–(e) corresponde à ordem crescente entre a,\;b,\;c.

Passo 2

Usar a equação 3c=3\cdot 9^{a}. Podemos simplificar dividindo ambos os lados por 3; como 3\neq 0 isso é válido e preserva a igualdade. Assim:
c=9^{a}.
Explicando: dividir por 3 é basicamente “cancelar o fator 3” em ambos os lados. Observe também que 9^{a} é inteiro somente se a for inteiro não negativo; se a<0 então 9^{a}=1/9^{|a|} seria uma fração, contradizendo que c é inteiro. Portanto devemos ter necessariamente a\ge 0.

Passo 3

Substituir c=9^{a} na primeira equação c^{a}=b^{2a}. Primeiro escrevo 9 em termos de 3 para facilitar:
c=9^{a}=(3^{2})^{a}=3^{2a}.
Agora
c^{a}=(3^{2a})^{a}=3^{2a^{2}}.
A igualdade c^{a}=b^{2a} fica
b^{2a}=3^{2a^{2}}.
Se a\neq 0 podemos tomar a raiz de índice 2a em ambos os lados (note que 2a>0 porque já vimos a\ge 0). Tomando a raiz de índice 2a obtemos em módulo
|b|=3^{a}.
Portanto, para a\neq 0 temos
b=\pm 3^{a}.
Explicando didaticamente: quando x^{k}=y^{k} com k inteiro positivo, então |x|=|y|; daí x pode ser y ou -y. Aqui k=2a é positivo quando a>0, por isso aparecem as duas possibilidades de sinal. Se a=0 as potências viram c^{0}=b^{0} e isso dá 1=1, que é verdade para qualquer b\neq 0 (lembrar que 0^{0} é indefinido), então o caso a=0 fica especial e será tratado em seguida.

Passo 4

Agora usar a terceira equação a+b+c=16 com as possibilidades obtidas.
Caso 1: a=0.
  • Então c=9^{0}=1 (peguei c=9^{a} da equação simplificada).
  • A soma fica 0+b+1=16, logo b=15.
  • Verificação rápida: a primeira equação fica c^{a}=1^{0}=1 e b^{2a}=15^{0}=1, portanto válida (e b\neq 0 então não há 0^{0}). Assim (a,b,c)=(0,15,1) é solução inteira admissível.
Caso 2: a\ge 1.
  • Então c=9^{a}\ge 9^{1}=9.
  • Além disso, para a\ge 1 temos b=\pm 3^{a}.
    Testo alguns valores pequenos de a (porque potências crescem rápido e a soma deve ser 16):
  • Para a=1: c=9^{1}=9 e b=\pm 3^{1}=\pm 3.
    • Se b=+3: soma 1+3+9=13, não igual a 16.
    • Se b=-3: soma 1-3+9=7, não igual a 16.
      Logo a=1 não funciona.
  • Para a=2: c=9^{2}=81 (já maior que 16); então a+b+c\ge 2+(-9)+81=74 no caso b=-9 ou 2+9+81=92 no caso b=9. Em qualquer caso a soma é muito maior que 16. Para a\ge 2 fica ainda pior porque c=9^{a} cresce muito e torna impossível a soma ser 16.
Conclusão deste passo: a única possibilidade inteira que satisfaz todas as equações é a=0,\;b=15,\;c=1.

Passo 5

Agora compare os valores encontrados:
a=0,\qquad c=1,\qquad b=15.
Em ordem crescente temos 0<1<15, ou seja
a < c < b.
Isso corresponde à alternativa (b).

Resposta

b) a<c<b

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