(PUC-SP) Se
e
são números inteiros tais que
e
, então é verdade que
a) a
b
c
b) a
c
b
c) b
a
c
d) b
c
a
e) c
a
b
a) a
b) a
c) b
d) b
e) c
Passo 1
O enunciado dá três informações (tirei todos os dados do enunciado):
- São números inteiros
. -
. -
. -
.
O que é pedido: identificar qual das opções (a)–(e) corresponde à ordem crescente entre
.
Passo 2
Usar a equação
. Podemos simplificar dividindo ambos os lados por
; como
isso é válido e preserva a igualdade. Assim:
Explicando: dividir por
é basicamente “cancelar o fator
” em ambos os lados. Observe também que
é inteiro somente se
for inteiro não negativo; se
então
seria uma fração, contradizendo que
é inteiro. Portanto devemos ter necessariamente
.
Passo 3
Substituir
na primeira equação
. Primeiro escrevo
em termos de
para facilitar:
Agora
A igualdade
fica
Se
podemos tomar a raiz de índice
em ambos os lados (note que
porque já vimos
). Tomando a raiz de índice
obtemos em módulo
Portanto, para
temos
Explicando didaticamente: quando
com
inteiro positivo, então
; daí
pode ser
ou
. Aqui
é positivo quando
, por isso aparecem as duas possibilidades de sinal. Se
as potências viram
e isso dá
, que é verdade para qualquer
(lembrar que
é indefinido), então o caso
fica especial e será tratado em seguida.
Passo 4
Agora usar a terceira equação
com as possibilidades obtidas.
Caso 1:
.
- Então
(peguei da equação simplificada). - A soma fica
, logo . - Verificação rápida: a primeira equação fica
e , portanto válida (e então não há ). Assim é solução inteira admissível.
Caso 2:
.
-
Então
. -
Além disso, para
temos .
Testo alguns valores pequenos de(porque potências crescem rápido e a soma deve ser ): -
Para
: e . - Se
: soma , não igual a . - Se
: soma , não igual a .
Logonão funciona.
- Se
-
Para
: (já maior que ); então no caso ou no caso . Em qualquer caso a soma é muito maior que . Para fica ainda pior porque cresce muito e torna impossível a soma ser .
Conclusão deste passo: a única possibilidade inteira que satisfaz todas as equações é
.
Passo 5
Agora compare os valores encontrados:
Em ordem crescente temos
, ou seja
Isso corresponde à alternativa (b).
Resposta
b)