(ITA-SP) Seja A um conjunto com 14 elementos e B um subconjunto de A com 6 elementos. O número de subconjuntos de A com um número de elementos menor ou igual a 6 e disjuntos de B é
a) 2^{8}-9.
b) 2^{8}-1.
c) 2^{8}-2^{6}.
d) 2^{14}-2^{8}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma contagem:
  • A é um conjunto com \,14\, elementos.
  • B é um subconjunto de A com \,6\, elementos.
  • Pergunta: quantos subconjuntos de A têm número de elementos menor ou igual a \,6\, e são disjuntos de B ?

Passo 2

Entendendo a condição "disjuntos de B":
  • Um subconjunto de A é disjunto de B se e só se ele não contém nenhum elemento de B.
  • Portanto, qualquer subconjunto de A que seja disjunto de B é, na verdade, um subconjunto de A\setminus B.
  • O conjunto A\setminus B tem \,14-6=8\, elementos. Ou seja, os subconjuntos válidos estão todos dentro de um conjunto de \,8\, elementos.

Passo 3

Contagem por tamanhos: seja \binom{n}{k} o número de maneiras de escolher k elementos de um conjunto com n elementos. Isto é
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (fatorial) significa n!=n\cdot(n-1)\cdots1. Aqui, o número de subconjuntos de A que são disjuntos de B e têm exatamente k elementos é \binom{8}{k}, para k=0,1,\dots,8. Como o enunciado exige subconjuntos com número de elementos menor ou igual a \,6, devemos somar os casos de k=0 até k=6:
\sum_{k=0}^{6}\binom{8}{k}.

Passo 4

Usando identidades binomiais para simplificar a soma:
  • A soma de todos os coeficientes binomiais para n=8 é \sum_{k=0}^{8}\binom{8}{k}=2^{8} (porque cada subconjunto de um conjunto de 8 elementos corresponde a escolher alguns dos 8 elementos).
  • Então
\sum_{k=0}^{6}\binom{8}{k}=2^{8}-\binom{8}{7}-\binom{8}{8}.
  • Calculando os binomiais restantes: \binom{8}{7}=\binom{8}{1}=8 e \binom{8}{8}=1.
  • Portanto
\sum_{k=0}^{6}\binom{8}{k}=2^{8}-8-1.

Passo 5

Cálculo final simples:
2^{8}-8-1=256-8-1=247.
Agora comparar com as alternativas dadas: a alternativa (a) é \,2^{8}-9\,, que vale 256-9=247, coincidindo com o valor encontrado.

Resposta

(a)

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