(ITA-SP) Seja A um conjunto com 14 elementos e B um subconjunto de A com 6 elementos. O número de subconjuntos de A com um número de elementos menor ou igual a 6 e disjuntos de B é
a)
.
b)
.
c)
.
d)
.
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma contagem:
-
é um conjunto com elementos. -
é um subconjunto de com elementos. - Pergunta: quantos subconjuntos de
têm número de elementos menor ou igual a e são disjuntos de ?
Passo 2
Entendendo a condição "disjuntos de
":
- Um subconjunto de
é disjunto de se e só se ele não contém nenhum elemento de . - Portanto, qualquer subconjunto de
que seja disjunto de é, na verdade, um subconjunto de . - O conjunto
tem elementos. Ou seja, os subconjuntos válidos estão todos dentro de um conjunto de elementos.
Passo 3
Contagem por tamanhos: seja
o número de maneiras de escolher
elementos de um conjunto com
elementos. Isto é
onde
(fatorial) significa
. Aqui, o número de subconjuntos de
que são disjuntos de
e têm exatamente
elementos é
, para
. Como o enunciado exige subconjuntos com número de elementos menor ou igual a
, devemos somar os casos de
até
:
Passo 4
Usando identidades binomiais para simplificar a soma:
- A soma de todos os coeficientes binomiais para
é (porque cada subconjunto de um conjunto de elementos corresponde a escolher alguns dos elementos). - Então
- Calculando os binomiais restantes:
e . - Portanto
Passo 5
Cálculo final simples:
Agora comparar com as alternativas dadas: a alternativa (a) é
, que vale
, coincidindo com o valor encontrado.
Resposta
(a)