(PUC-RJ)O valor de
, onde i é a unidade imaginária.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o valor de
, onde
é a unidade imaginária, isto é, satisfaz
.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- A expressão a avaliar é
. - Sabe-se que
, e que as potências de seguem um ciclo periódico (isto será usado).
Passo 2
Vamos recordar uma propriedade muito útil das potências de
. Calculemos algumas potências básicas e observe o padrão:
Dado que
, as potências de
repetem a cada 4: para qualquer inteiro
,
Isso significa que, para calcular
por exemplo, podemos escrever
.
Passo 3
Observação prática: é mais simples reduzir a potência de
encontrando uma potência menor de
que seja fácil de elevar depois. Calculemos
:
Substituindo
:
Portanto achamos que
.
Passo 4
Usamos agora a propriedade das potências
. Assim:
Passo 5
Distribuímos o expoente em
usando
:
Calculemos separadamente:
. Para
, usando o ciclo de período 4:
Logo
Passo 6
Pequeno reforço (método alternativo, útil para provas): escrever
em forma polar e aplicar a fórmula de De Moivre. Tem-se
e argumento
. Então
e
confirmando o resultado anterior.