(PUC-RJ)O valor de (1+i)^{12}, onde i é a unidade imaginária.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o valor de (1+i)^{12}, onde i é a unidade imaginária, isto é, satisfaz \;i^{2}=-1.
Informações relevantes dadas:
  • A expressão a avaliar é (1+i)^{12}.
  • Sabe-se que \;i^{2}=-1, e que as potências de i seguem um ciclo periódico (isto será usado).

Passo 2

Vamos recordar uma propriedade muito útil das potências de i. Calculemos algumas potências básicas e observe o padrão:
i^{0}=1,\qquad i^{1}=i,\qquad i^{2}=-1,\qquad i^{3}=-i,\qquad i^{4}=1.
Dado que i^{4}=1, as potências de i repetem a cada 4: para qualquer inteiro n,
i^{n}=i^{n \bmod 4}.
Isso significa que, para calcular i^{6} por exemplo, podemos escrever i^{6}=i^{4}\cdot i^{2}=1\cdot(-1)=-1.

Passo 3

Observação prática: é mais simples reduzir a potência de (1+i)^{12} encontrando uma potência menor de 1+i que seja fácil de elevar depois. Calculemos (1+i)^{2}:
(1+i)^{2}=1+2i+i^{2}.
Substituindo i^{2}=-1:
(1+i)^{2}=1+2i-1=2i.
Portanto achamos que (1+i)^{2}=2i.

Passo 4

Usamos agora a propriedade das potências \,(z^{a})^{b}=z^{ab}\,. Assim:
(1+i)^{12}=\big((1+i)^{2}\big)^{6}=(2i)^{6}.

Passo 5

Distribuímos o expoente em (2i)^{6} usando (ab)^{n}=a^{n}b^{n}:
(2i)^{6}=2^{6}\,i^{6}.
Calculemos separadamente: 2^{6}=64. Para i^{6}, usando o ciclo de período 4:
i^{6}=i^{4}\cdot i^{2}=1\cdot(-1)=-1.
Logo
(2i)^{6}=64\cdot(-1)=-64.

Passo 6

Pequeno reforço (método alternativo, útil para provas): escrever 1+i em forma polar e aplicar a fórmula de De Moivre. Tem-se |1+i|=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2} e argumento \arg(1+i)=\pi/4. Então
1+i=\sqrt{2}\,\mathrm{e}^{i\pi/4}
e
(1+i)^{12}=(\sqrt{2})^{12}\,\mathrm{e}^{i\,12\cdot\pi/4}=2^{6}\,\mathrm{e}^{i3\pi}=64(\cos 3\pi + i\sin 3\pi)=64(-1)= -64,
confirmando o resultado anterior.

Resposta

-64

Exercícios relacionados