O valor do número complexo \left[\frac{1+i^{9}}{1+i^{27}}\right]^{20} é?

Passo 1

O enunciado pede para calcular o valor de \left[\dfrac{1+i^{9}}{1+i^{27}}\right]^{20}. As informações relevantes que temos são:
  • A expressão dada é \left[\dfrac{1+i^{9}}{1+i^{27}}\right]^{20}.
  • O número i é a unidade imaginária, com a propriedade básica \,i^{2}=-1.

Passo 2

Vamos entender como se comportam as potências de i. As potências repetem a cada 4 porque:
i^{1}=i,\qquad i^{2}=-1,\qquad i^{3}=-i,\qquad i^{4}=1,
e então a sequência se repete: i^{5}=i, etc. Portanto, para qualquer inteiro n basta reduzir n módulo 4 para saber i^{n}.
Usando isso:
  • Para i^{9}, como 9\equiv 1\pmod{4}, temos i^{9}=i.
  • Para i^{27}, como 27\equiv 3\pmod{4}, temos i^{27}=i^{3}=-i.

Passo 3

Substituindo esses resultados na expressão original obtemos:
\left[\dfrac{1+i^{9}}{1+i^{27}}\right]^{20}=\left[\dfrac{1+i}{1+(-i)}\right]^{20}=\left[\dfrac{1+i}{1-i}\right]^{20}.

Passo 4

Agora vamos simplificar a fração \dfrac{1+i}{1-i}. Uma forma direta é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador, que é 1+i:
\dfrac{1+i}{1-i}\cdot\dfrac{1+i}{1+i}=\dfrac{(1+i)^{2}}{(1-i)(1+i)}.
Calculemos numerador e denominador separadamente:
(1+i)^{2}=1+2i+i^{2}=1+2i-1=2i,
(1-i)(1+i)=1-i^{2}=1-(-1)=2.
Portanto
\dfrac{1+i}{1-i}=\dfrac{2i}{2}=i.

Passo 5

Substituindo essa simplificação na potência, temos que a expressão original é (i)^{20}. Usando a periodicidade de período 4 das potências de i:
i^{20}=(i^{4})^{5}=1^{5}=1.

Resposta

1

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