O valor do número complexo
é?
Passo 1
O enunciado pede para calcular o valor de
. As informações relevantes que temos são:
- A expressão dada é
. - O número
é a unidade imaginária, com a propriedade básica .
Passo 2
Vamos entender como se comportam as potências de
. As potências repetem a cada 4 porque:
e então a sequência se repete:
, etc. Portanto, para qualquer inteiro
basta reduzir
módulo
para saber
.
Usando isso:
- Para
, como , temos . - Para
, como , temos .
Passo 3
Substituindo esses resultados na expressão original obtemos:
Passo 4
Agora vamos simplificar a fração
. Uma forma direta é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador, que é
:
Calculemos numerador e denominador separadamente:
Portanto
Passo 5
Substituindo essa simplificação na potência, temos que a expressão original é
. Usando a periodicidade de período
das potências de
: